G02: Kommutativgesetz + Assoziativgesetz

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Diese Lektion betrachtet die zwei grundlegenden Rechengesetze der Mathematik: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz. Das Distributivgesetz (das 3. wichtige Rechengesetz) schauen wir uns in der nächsten Lektion an.

Mathematik Video: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz

Die zwei Rechenregeln Kommutativgesetz: a + b = b + a sowie a * b = b * a
und Assoziativgesetz: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) sowie
a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)

Nächste Video-Lektion:


G03: Distributivgesetz

Lernprogramme

Zu den Rechengesetzen haben wir noch keine Lernprogramme entwickelt.

Habt ihr einen Wunsch oder eine Idee, dann schreibt sie uns!

Wissen zur Lektion

Kommutativ meint das Vertauschen der einzelnen Zahlen. Assoziativ meint das beliebige Verknüpfen (Zusammenrechnen) der Zahlen.

Beide Rechengesetze können für Addition und Multiplikation genutzt werden. Jedoch nicht für Subtraktion und Division!


Kommutativgesetz







Assoziativgesetz







Klammern entfernen
Wichtig: Sofern wir nur Additionen oder nur Multiplikationen in einer Aufgabe haben, dürfen wir vorhandene Klammern entfernen! Ein Beispiel:

3 + (5 + 1 + 9) + 2 = 3 + 5 + 1 + 9 + 2

Es ist hierbei gleichgültig, welche Zahlen wir als erstes zusammenaddieren. An dieser Stelle greift das Assoziativgesetz, bei dem wir beliebig verknüpfen dürfen.

Ein Beispiel für die Multiplikation, bei dem auch einfach die Klammern weggelassen werden können:

5 * (2 * 3 * 6) * 3 = 5 * 2 * 3 * 6 * 3



Kommutativgesetz in der Sprache
Das Kommutativgesetz findet man übrigens auch in den Sprachen wieder. Auf Deutsch sprechen wir zum Beispiel die Zahl 49 als "neun und vierzig". Mathematisch geschrieben ist das: 9 und 40, also 9 + 40. Auf Englisch spricht man hingegen die Zahl 49 als "forty-nine", also 40 + 9. Wie wir sehen, wurde hier das Distributivgesetz "angewendet" :)



Bonus

1. Ein anschauliches Beispiel zum Kommutativgesetz für die Multiplikation mithilfe des Zerlegens von Zahlen und dem Kommutativgesetz der Addition:

= 3 * 4
= 4 + 4 + 4
= (3+1) + (3+1) + (3+1)
= 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1
= 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1
= 3 + 3 + 3 + 3
= 4 * 3

2. Kommutativgesetz mit drei Zahlen (Variablen)

Addition:

Multiplikation:

Aufgaben

A. Berechne folgende Aufgaben vorteilhaft mit Hilfe des Kommutativ- und des Assoziativgesetzes (im Kopf, also ohne Taschenrechner):
1. 74 + 88 + 12 =
2. 67 + 192 + 8 =
3. 15 * 5 * 2 =
4. 9 * 5 * 20 =
5. 19 + 3 * 7 =
6. 13 * 2 + 4 =
7. 45 * 2 - 19 =
8. 45 - 2 * 19 =
9. 19 + 26 + 11 + 4 + 10 =
10. 25 + 19 + 5 - 9 + 10 =


B. Löse die nachstehenden, gemischten Textaufgaben:
1. Mit welchem der beiden Rechengesetze kannst Du 3 + 5 umdrehen?
2. Kannst Du bei der Aufgabe 3 + (9 + 4) das Assoziativgesetz anwenden?
3. Kannst Du bei der Aufgabe 3 + (9 + 4) das Kommutativgesetz anwenden?
4. Kannst Du bei der Aufgabe 3 + 9 + 4 das Assoziativgesetz anwenden?
5. Hat 3 * (4 + 2) den gleichen Wert wie 6 * 3?
6. Hat 5 * 7 * 9 den gleichen Wert wie 5 * 7 + 9?
7. Schreibe die Multiplikation 3 * 5 als Addition.
8. Schreibe die Multiplikation 3 * (3+2) als Addition.


C. Zusatzaufgaben
1. Hast Du eine Idee, wie man das (2+1) * (3+2) als Addition schreiben könnte.
2. Kannst Du das Assoziativgesetz auch anwenden, wenn Klammern gesetzt sind?
3. Kannst Du das Kommutativgesetz anwenden, wenn Klammern gesetzt sind? Als Beispiel (3 * 5) + 6?
4. "Tom hat gestern 5 Euro bekommen, heute 2 Euro und morgen 9 Euro. Wie viel Geld hat er nun?" ... Wenn Du nun das Kommutativgesetz auf diese Mini-Sachaufgabe anwendest, wie könntest Du sie anders formulieren? (Denke daran, es muss immer noch das gleiche Ergebnis herauskommen.)

Lösungen

A. Lösungen:
1. 74 + 88 + 12 = 74 + (88 + 12) = 74 + 100 = 100 + 74 = 174

2. 67 + 192 + 8 = 67 + (192 + 8) = 67 + 200 = 200 + 67 = 267

3. 15 * 5 * 2 = 15 * (5 * 2) = 15 * 10 = 150
oder zuerst mit Kommutativgesetz 2 und 5 drehen, dann wäre die Rechnung:
15 * 5 * 2 = 15 * 2 * 5 = (15 * 2) * 5 = 30 * 5 = 150

4. 9 * 5 * 20 = 9 * (5 * 20) = 9 * 100 = 900

5. 19 + 3 * 7 = 19 + 21 = 40
Hier darf nicht 19 + 3 als erstes gerechnet werden, da Punktrechnung vor Strichrechnung gilt. Zur Erinnerung: 19 + 3 * 7 = 19 + (7 + 7 + 7) = 19 + 21 = 40

6. 13 * 2 + 4 = 26 + 4 = 30

7. 45 * 2 - 19 = 90 - 19 = 90 - 20 + 1 = 70 + 1 = 71

8. 45 - 2 * 19 = 45 - 38 = 7
Punktrechnung (Multiplikation/Division) vor Strichrechnung (Addition/Subtraktion).
Wir könnten die Multiplikation auch wieder in eine Addition zu Beginn umwandeln, aber hier unbedingt die Klammer setzen (wir ziehen 2 mal die 19 ab)!
45 - 2 * 19 = 45 - (19 + 19) = 45 - 19 - 19 = 45 - 38 = 7

9. Hier können wir mit dem Kommutativgesetz die einzelnen Zahlen wie folgt drehen und einfach ausrechnen:
19 + 26 + 11 + 4 + 10 =
19 + 11 + 26 + 4 + 10 =
(19 + 11) + (26 + 4) + 10 =
(30) + (30) + 10 =
30 + 30 + 10 =
70

10. Wie bei der Aufgabe zuvor lässt sich hier ebenfalls das Kommutativgesetz sinnvoll anwenden:
25 + 19 + 5 - 9 + 10 =
25 + 5 + 19 - 9 + 10 =
(25 + 5) + (19 - 9) + 10 =
(30) + (10) + 10 =
30 + 10 + 10 =
50


B. Lösungen:
1. 3 + 5 wird zu 5 + 3 mit Hilfe des Kommutativgesetzes

2. Bei 3 + (9 + 4) stehen Klammern, die vorrangig zu rechnen sind. Das Assoziativgesetz können wir hier nicht anwenden.

3. Bei 3 + (9 + 4) kann das Kommutativgesetz angewendet werden, zwei Möglichkeiten:
3a. 3 + (9 + 4) = 3 + (4 + 9)
3b. 3 + (9 + 4) = (9 + 4) + 3

4. Bei 3 + 9 + 4 stehen keine Klammern, hier können wir beliebig rechnen/verknüpfen. Das Assoziativgesetz kann wie folgt angewendet werden:
4a. 3 + 9 + 4 = (3 + 9) + 4
4b. 3 + 9 + 4 = 3 + (9 + 4)

5. 3 * (4 + 2) hat den gleichen Wert wie 6 * 3
3 * (4 + 2) = 3 * 6 = 6 * 3

6. 5 * 7 * 9 hat nicht den gleichen Wert wie 5 * 7 + 9
5 * 7 * 9 = 5 * 63 = 315
5 * 7 + 9 = 35 + 9 = 44

7. Schreibe die Multiplikation 3 * 5 als Addition.
3 * 5 = 5 + 5 + 5
oder
3 * 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

8. Schreibe die Multiplikation 3 * (3+2) als Addition.
3 * (3+2) = (3+2) + (3+2) + (3+2)


C. Lösungen (Zusatzaufgaben):
1. Als Addition schreiben können wir (2+1) * (3+2) zum Beispiel so:
(2+1) * (3+2) = 3 * 5 = 5 + 5 + 5
oder
(2+1) * (3+2) = 3 * 5 = 5 * 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

2. Das Assoziativgesetz kann bei 3 zu verknüpfenden Elementen nicht angewendet werden, wenn Klammern gesetzt sind. Hingegen kann es innerhalb von Klammern angewendet werden! Zum Beispiel bei: 3 + (4 + 5 + 6 + 7)

3. Das Kommutativgesetz kann bei Klammern stets angewendet werden, wenn alle Zahlen addiert werden oder alle Zahlen multipliziert werden. Beim Beispiel (3 * 5) + 6 könnten wir drehen zu 6 + (3 * 5).
Man kann dieses "Drehen" auch rechnerisch zeigen:
(3 * 5) + 6 = 15 + 6 = 6 + 15 = 6 + (3 * 5)

4. Die Sachaufgabe könnte anders lauten:
4a. Gestern hat Tom 2 € bekommen, heute 5 € und morgen 9 €.
4b. Gestern hat Tom 9 € bekommen, heute 5 € und morgen 2 €.
4c. Gestern hat Tom 9 € bekommen, heute 2 € und morgen 5 €.
4d. Gestern hat Tom 2 € bekommen, heute 9 € und morgen 5 €.
4e. Gestern hat Tom 5 € bekommen, heute 9 € und morgen 2 €.

Tags: Rechengesetze, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz