Mathe G05: Natürliche und Ganze Zahlen

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Zahlenmengen bereiten einigen Schülern Probleme, dabei ist das Thema nicht so schwierig. Bis zum Ende der Schule benötigt ihr diese Zahlenmengen:

ℕ - Natürliche Zahlen
ℤ - Ganze Zahlen
ℚ - Rationale Zahlen (Brüche)
I - Irrationale Zahlen
ℝ - Reelle Zahlen

Die ersten beiden ℕ und ℤ behandeln wir in dieser Lektion!

Video: Natürliche Zahlen und Ganze Zahlen
Die Zahlenmengen Natürliche Zahlen: 1, 2, 3, ... ∞ (bis unendlich) und Ganze Zahlen: -∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... +∞.
Hinweise zur Abstraktion "Zahl".

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Grundrechenarten mit den Natürlichen Zahlen




Grundrechenarten mit den Ganzen Zahlen

Wissen

1. Natürliche Zahlen sind die Zahlen, denen ihr als erstes begegnet (im Kindergarten und der Grundschule). Angefangen bei 0 oder 1, dann 2, 3, 4 ... Ihr stellt sie nicht in Frage, sie sind für euch natürlich!

2. In den Zahlenbereich/Zahlenmenge der Ganze Zahlen kommen wir mit der Subtraktion, zum Beispiel: 4 - 9 = (-5). Positive und negativen Zahlen gehören zum Bereich der Ganzen Zahlen!

3. Die positiven Ganzen Zahlen entsprechen den Natürlichen Zahlen.

4. Das Zeichen für Natürliche Zahlen ist: ℕ

5. Das Zeichen für Ganze Zahlen ist: ℤ

Man schreibt für die Zugehörigkeit zu einer Menge, z. B.:
1 ∈ ℕ ("1 ist Element der Natürlichen Zahlen")
-2 ∉ ℕ ("-2 ist nicht Element der Natürlichen Zahlen")


Als letztes erwähnt und bitte merken, die liegende Acht " ∞ " ist das Zeichen für unendlich.

Aufgaben

A. Beantworte die folgenden Fragen:

1. Worin unterscheiden sich negative Zahlen von positiven Zahlen?

2. Notiere die kleinste Natürliche Zahl!

3. Notiere die kleinste Ganze Zahl!

4. Nenne 4 gerade Zahlen!

5. Nenne 3 ungerade Zahlen!

6. Was für eine Zahl erhältst Du, wenn Du eine gerade und eine ungerade Zahl addierst?

7. Worin unterscheiden sich die Ganzen Zahlen von den Natürlichen Zahlen?

8. Wie sieht das Zeichen für unendlich aus?

9. Nenne drei Beispiele für negative Zahlen im Alltag!


B. Ergänze die fehlenden Stellen:
1. 5 ∈ __
2. __ ∉ ℕ
3. __ ∈ ℤ
4. 3, 5, __, 9, 11
5. -10, -8, __, -4, -2
6. 10 ∈ ℕ und 10 ∈ __
7. ℤ - ℕ = __
8. ℤ ₊ + ℤ _- = __


C. Natürliche und Ganze Zahlen in der Schule + Zusatzfragen
1. Wenn Du Deine Klassenarbeit mit 'gut' zurückbekommst, steht unten eine __. Diese Zahl ist ∈ __

2. Um 12 Uhr ist Mittagspause. 12 ∈ __

3. Wenn Du eine beliebige Zahl (außer Null) mit sich selbst addierst, wechselt dann das Vorzeichen?

4. Wenn Du eine beliebige Zahl (außer Null) von sich selbst subtrahierst, wechselt dann das Vorzeichen?

Lösungen

A. Lösungen:
1. Negative Zahlen haben das Vorzeichen Minus - und positive Zahlen das Vorzeichen Plus + (das man jedoch meist nicht mitschreibt). Außerdem sind negative Zahlen immer kleiner als positive Zahlen.

2. Die kleinste Natürliche Zahl ist die 1. Vereinbart man jedoch, dass die Null dazugehört (man schreibt dann ℕ₀), so wäre Null die kleinste.

3. "Notiere die kleinste Ganze Zahl!" Diese Frage klingt einfach, aber sicher wird sie von vielen falsch beantwortet.
Die Natürlichen Zahlen enden bei 1 oder 0, wie in der vorigen Aufgabe beschrieben. "Klein" meint also, wir ziehen solange -1 ab, bis wir aufs kleinste Elemente dieser Zahlenmenge kommen. Bei den natürlichen Zahlen könnte man starten bei 5, und rechnet 5-1 = 4, 4-1 = 3, 3-1 = 2, 2-1 = 1. Kleiner als 1 geht nicht.
Zu den Ganzen Zahlen hingegen gehören alle negativen Zahlen dazu. Das heißt, suchen wir das "kleinste" Element, müssen wir immer -1 abziehen. Fangen wir bei 2 an, ergibt sich 2-1 = 1, 1-1 = 0, 0-1 = -1, -1-1 = -2, -2-1 = -3, ...
Wie wir erkennen, können wir immer -1 abziehen und erhalten eine neue, kleinere Zahl. Zur Erinnerung -10 zum Beispiel ist kleiner als -4 (stellt euch hier das Thermometer vor).
Demnach gibt es keine kleinste Zahl bei den Ganzen Zahlen. Für diese Aufgabe könnte man auch -∞ (minus unendlich) als richtige Antwort gelten lassen.

4. Hier könnt ihr beliebige gerade Zahlen wählen, z. B. 10, 16, 40, 2. Wichtig ist nur, dass sie :2 teilbar sind.

5. Hier könnt ihr ebenfalls beliebige ungerade Zahlen wählen, z. B. 9, 19, 37, 41. Wichtig ist, dass sie nicht :2 teilbar sein dürfen.

6. Addieren wir eine gerade und eine ungerade Zahl, so erhalten wir stets eine ungerade Zahl. Beispiel: 2 + 3 = 5 oder 16 + 15 = 31

7. Die Menge der Ganzen Zahlen ist größer als die Menge der Natürlichen Zahlen. Die Ganzen Zahlen enthalten positive und negative Zahlen, die Natürlichen Zahlen nur positive.

8. Das Zeichen für unendlich ist ein liegende Acht: ∞

9. Hier gibt es sehr viele Beispiele. 3 Vorschläge:
a) ein negativer Kontostand von -200 EUR
b) eine kalte Temperatur von -10°C
c) ein Computerspiel, bei dem man verliert und -1220 Punkte hatte :)
d) ein Autotank, der ausläuft: jede Minute -200 ml Flüssigkeit
e) eine Familie, die jeden Tag Kartoffeln isst und ihren Kartoffelvorrat um -1 kg pro Tag verringert

B. Ergänze die fehlenden Stellen:
1. 5 ∈ ℕ oder 5 ∈ ℤ (beides ist richtig)
2. -1 ∉ ℕ (hier kann jede negative Zahl eingesetzt werden)
3. 2 ∈ ℤ (hier kann jede Ganze Zahl eingesetzt werden)
4. 3, 5, 7, 9, 11
5. -10, -8, -6, -4, -2
6. 10 ∈ ℕ und 10 ∈ ℤ
7. ℤ - ℕ = ℤ _-
8. ℤ ₊ + ℤ _- = ℤ

C. Natürliche und Ganze Zahlen in der Schule
1. Wenn Du Deine Klassenarbeit mit 'gut' zurückbekommst, steht unten eine 2. Diese Zahl ist ∈ ℕ (richtig wäre auch:) ∈ ℤ

2. Um 12 Uhr ist Mittagspause. 12 ∈ ℕ (richtig wäre auch:) ∈ ℤ

3. Beispiel für Minus: -2 + -2 = -4 → das negative Vorzeichen bleibt erhalten.
Beispiel für Plus: 2 + 2 = 4 → das positive Vorzeichen bleibt erhalten.
Das Vorzeichen wechselt also nicht.

4. Beispiel für Minus: -2 - (-2) = 0 → das negative Vorzeichen verschwindet!
Beispiel für Plus: 2 - 2 = 0 → das positive Vorzeichen verschwindet!
Da wie wir sehen, in allen Fällen Null herauskommt und die Null kein Vorzeichen kennt, können wir die Frage nach dem Vorzeichen wie folgt beantworten:
"wechselt dann das Vorzeichen?" Das Vorzeichen wechselt nicht, da Wechseln einen Wechsel von Plus zu Minus oder Minus zu Plus meint!