Mathe G07: Binomische Formeln

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Erklärung der Binomischen Formeln. Hier werden alle drei binomischen Formeln ausführlich hergeleitet! Damit ihr besser Mathe lernen könnt!Heute schauen wir uns an, wie die Binomischen Formeln entstehen. Dazu verwenden wir insbesondere das Distributivgesetz! Auf dieser Seite findet ihr auch die Mathe-Programm zu den Binomischen Formeln, die wir im Video benutzen.

Teil 1

Teil 2

Teil 3

Teil 4

Binomische Formeln: Voraussetzungen
(Erweitertes) Distributivgesetz, Berechnung der Fläche von
Rechteck und Quadrat, Zahl ins Quadrat (a*a = a²), 2*ab = ab + ab, Zerlegen einer Strecke in Teilstrecken

Erste Binomische Formel
Herleitung der Ersten Binomischen Formel, Grafischer Nachweis der Binomischen Formel über Flächen

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Zweite Binomische Formel
Herleitung der 2. Binomischen Formel, grafischer Nachweis,
Anwendung bei der Aufgabe (3xy-5)²

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Dritte Binomische Formel + Faktorisieren
Herleitung 3. Binomische Formel, Faktorisieren,
Schnelleres Kopfrechnen mit Binomischen Formeln

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Fragen und Antworten

1. Binomische Formel mit Variablen, Beispiel (4x+3y)²

Nächste Video-Lektion:


G08: Bruchrechnung / Brüche

Lernprogramme Binomische Formeln

Lernprogramm 1. Binomische Formel

Lernprogramm 2. Binomische Formel

Lernprogramm 3. Binomische Formel

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Wissen zur Lektion

binom = bi (zwei) und nomen (Teil, Name)


1. Binomische Formel


2. Binomische Formel


3. Binomische Formel



Schriftliches Rechnen vereinfachen
Binomische Formeln lassen sich auch dazu benutzen, das schriftliche Rechnen zu vereinfachen. Beispiele:

408² = (400 + 8)²
= 400² + 2*400*8 + 8²
= 160.000 + 6.400 + 64
= 166.464

198*202 = (200-2)*(200+2)
= 200² - 2²
= 40.000 - 4
= 39.996

44² - 26² = (44+26)*(44-26)
= 70*18
= 1.260


Faktorisieren mit Binomischen Formeln
Faktorisieren kommt von "Faktor", den wir bereits bei der Multiplikation kennengelernt hatten. Bei den binomischen Formeln haben wir zwei Faktoren (richtig, das sind die Klammern):

(a + b)² = (a + b) * (a + b)
Produkt = Faktor1 * Faktor2

Wenn wir nun eine ausgerechnete binomische Gleichung vorzuliegen haben und der Lehrer sagt, faktorisiere wieder, dann müsst ihr die Gleichung wieder in die Klammerform bringen. Beispiel:

= x² + 6x + 9
allgemein:
= a² + 2ab + b²

Jetzt sieht man beim direkten Gegenüberstellen:
x² = a²     6x = 2ab     9 = b²

Und kann sich ausrechnen (Wurzel ziehen):
a = x und b = 3

Dann beim Allgemeinen einsetzen und konkrete Werte erhalten:
= a² + 2*a*b + b² → (a + b)²
= x² + 2*x*3 + 3² → (x + 3)²

Probe:
(x + 3)² = (x + 3)*(x + 3) = x*x + 3x + 3x + 3*3 = x² + 6x + 9


Das Faktorisieren wenden wir zum Beispiel bei den Quadratischen Funktionen, speziell bei der Quadratischen Ergänzung an.

Aufgaben

A. Multipliziere erst die Klammern aus, berechne dann das Ergebnis!
1. (1 + 4)*(2 + 2) =
2. (-2 + 8)*(3 + 4) =
3. (-2 + 2 - 3)*(5 - 10) =
4. (9 - 9)*(9 + 9) =
5. (8 + 8)*(8 - 8 - 8) =


B. Löse die folgenden Aufgaben nur mit Hilfe der Binomischen Formeln, danach erst zusammenrechnen!
1. (4 + 3)² =
2. (-4 + 5)² =
3. (10 + 9)² =
4. (5 - 12)² =
5. (6 - 8)² =
6. (12 + 2)*(12 - 2) =
7. (200 - 4)*(200 + 4) =
8. (100 - 10)*(100 + 10)*(100 + 10) =


C. Nehmen wir als nächstes anstatt Zahlen ein paar Variablen (also Platzhalter, in die wir beliebige Zahlen einsetzen können). Berechnet diese Aufgaben mit den Binomischen Formeln so weit wie möglich:

Beispiellösung:
(x - 8)² = x² - 2*x*8 - 8² = x² - 16*x - 64
(a - b)² = a² - 2*a*b - b²
siehe auch Video Teil 3!

1. (x + 7)² =
2. (10 - x)² =
3. (4*x - y)² =
4. (x + 10*y)² =
5. (2 - a*b)² =
6. (2*x + a*b)² =
7. (a*2 - a*b)² =
8. (x + 3)*(x - 3) =
9. (x + y)*(x - y) =
10. (2*a + 3*b)*(2*a - 3*b) =


D. Faktorisiere (das heißt, Du musst die ursprüngliche Form der Binomischen Formel wieder herstellen):

Beispiellösung:
x² + 6x + 9 = x² + 2*3*x + 3² = x² + 2*x*3 + 3² = (x + 3)²
a² + 2ab + b² = (a + b)²
siehe auch Video Teil 4!

1. 25 - 40 + 16 =
2. x² + 6*x*y + 9*y² =
3. 100 - 20*x + x² =
4. 400 - 100*x² =
5. x² - 18*x + 81 =

Lösungen

A. Lösungen:

1. (1 + 4)*(2 + 2) = 1*2 + 1*2 + 4*2 + 4*2 = 2 + 2 + 8 + 8 = 20

2. (-2 + 8)*(3 + 4) = (-2)*3 + (-2)*4 + 8*3 + 8*4 = (-6) + (-8) + 24 + 32 = -6 - 8 + 24 + 32 = -14 + 24 + 32 = 10 + 32 = 42

3. (-2 + 2 - 3)*(5 - 10) = (-2)*5 + (-2)*(-10) + 2*5 + 2*(-10) + (-3)*5 + (-3)*(-10) = (-10) + (20) + 10 + (-20) + (-15) + (30) = -10 + 20 + 10 - 20 - 15 + 30 = 10 + 10 - 20 + 15 = 20 - 20 + 15 = 15

4. (9 - 9)*(9 + 9) = (9 - 9)*(9 + 9) = 9*9 + 9*9 + (-9)*9 + (-9)*9 = 81 + 81 + (-81) + (-81) = 81 + 81 - 81 - 81 = 0

5. (8 + 8)*(8 - 8 - 8) = 8*8 + 8*(-8) + 8*(-8) + 8*8 + 8*(-8) + 8*(-8) = 64 + (-64) + (-64) + 64 + (-64) + (-64) = 64 - 64 - 64 + 64 - 64 - 64 = 0 - 64 + 0 - 64 = - 64 - 64 = - 128


B. Lösungen

1. (4 + 3)² = 4² + 2*4*3 + 3³ = 16 + 24 + 9 = 49

2. (-4 + 5)² = (-4)² + 2*(-4)*5 + 5² = (+16) + (-4)*2*5 + 25 = 16 - 40 + 25 = -24 + 25 = 1

3. (10 + 9)² = 10² + 2*10*9 + 9² = 100 + 180 + 81 = 361

4. (5 - 12)² = 5² - 2*5*12 + 12² = 25 - 120 + 144 = 25 + 24 = 49

5. (6 - 8)² = 6² - 2*6*8 + 8² = 36 - 96 + 64 = -60 + 64 = 4

6. (12 + 2)*(12 - 2) = 12² - 2² = 144 - 4 = 120

7. (200 - 4)*(200 + 4) = 200² - 4² = 40.000 - 16 = 39.984

8. (100 - 10)*(100 + 10)*(100 + 10) = (100 - 10)*(100 + 10)*(100 + 10) = (100² - 10²)*(100 + 10) = (100² - 10²)*(100 + 10) = 100²*100 + 100²*10 + (-10²)*100 + (-10²)*10 = 100²*100 + 100²*10 - 10²*100 - 10²*10

Jetzt müssen wir noch zusammenrechnen, dafür schreiben wir die Quadrate nochmals als Multiplikationen aus:

100²*100 + 100²*10 - 10²*100 - 10²*10 = 100*100*100 + 100*100*10 - 10*10*100 - 10*10*10 = 1.000.000 + 100.000 - 10.000 - 1.000 = 1.100.000 - 11.000 = 1.089.000

Bei dieser Aufgabe könnt ihr euch zu Beginn übrigens aussuchen, welche der drei Klammern ihr als erstes verrechnen wollt!


C. Lösungen

1. (x + 7)² = x² + 2*x*7 + 7² = x² + 14*x + 49

2. (10 - x)² = 10² - 2*10*x + x² = 100 - 20*x + x²

3. (4*x - y)² = (4*x)² - 2*(4*x)*y + y² = 4*x*4*x - 2*4*x*y + y² = 16*x² - 8*x*y + y²

4. (x + 10*y)² = x² + 2*x*(10*y) + (10*y)² = x² + 2*x*10*y + 10*y*10*y = x² + 20*x*y + 100*y²

5. (2 - a*b)² = 2² - 2*(2)*(a*b) + (a*b)² = 4 - 4*a*b + (a*b)*(a*b) = 4 - 4*a*b + a²*b²

6. (2*x + a*b)² = (2*x)² + 2*(2*x)*(a*b) + (a*b)² = (2*x)*(2*x) + 2*2*x*a*b + (a*b)*(a*b) = 4*x² + 4*x*a*b + a²*b²

7. (a*2 - a*b)² = (a*2)² - 2*(a*2)*(a*b) + (a*b)² = (a*2)*(a*2) - 2*a*2*a*b + (a*b)*(a*b) = a²*4 - 4*a*a*b + a*b*a*b = 4*a² - 4*a²*b + a²*b²

8. (x + 3)*(x - 3) = x² - 3²

9. (x + y) (x - y) = x² - y²

10. (2*a + 3*b) (2*a - 3*b) = (2*a)² - (3*b)²


D. Lösungen:

1. 25 - 40 + 16 = 5² - 2*5*4 + 4² = (5 - 4)²

2. x² + 6*x*y + 9*y² = x² + 2*3*x*y + 3*3*y*y = x² + 2*x*3*y + 3*y*3*y = x² + 2*(x)*(3*y) + (3*y)*(3*y) = (x + 3*y)²

3. 100 - 20*x + x² = 10² - 2*10*x + x² = (10 - x)²
Alternativ wäre hier ebenso (-10 + x)² richtig, da beim Auflösen dieser Klammer auch 100 - 20*x + x² herauskommt.

4. 400 - 100*x² = 400 - 10*10*x*x = 20*20 - 10*x*10*x = 20² - (10*x)² = (20 - 10x)*(20 + 10x)

5. x² - 18*x + 81 = x² - 2*9*x + 9² = (x - 9)²
Alternativ könnte man auf (-x + 9)² als Lösung kommen, da beim Auflösen dieser Klammer tatsächlich auch x² - 18*x + 81 herauskommt.

Tags: Binomische Formeln, Binom, Distributivgesetz, Faktorisieren