Heute kommt das gefürchtete Bruchrechnen dran. Hierzu gibt es eine einfache Einführung ins Thema, danach schauen wir uns an, wie man Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann - und wie die Regeln zur Bruchrechnung überhaupt entstehen! Weiter unten findet ihr Lernsoftware, mit der ihr euer Wissen testen könnt.
Teil 1 von 5 - Einführung zum Bruch
Teil 2 von 5 - Brüche addieren und subtrahieren
Teil 3 von 5 - Brüche multiplizieren
Teil 4 von 5: Brüche dividieren
Inhalte: Division von Brüchen inklusive Herleitung des Kehrwerts + Anwendung bei einer Sachaufgabe
Aufgabe: Vier Brüder erhalten zusammen 100 Euro Taschengeld. Zwei Fünftel davon spenden sie regelmäßig für einen guten Zweck. Wie viel Taschengeld hat jeder für sich?
Teil 5 von 5: Gemischte Zahlen & Brucharten
Inhalte: Gemischte Zahlen, echter und unechter Bruch, Scheinbruch, Doppelbrüche, Dezimalbruch, Vorzeichen bei Brüchen, Rationale Zahlen Lernsoftware
Wissen aus der Lektion
Merkt euch neben den Rechenregeln unbedingt auch die Bezeichnungen, oben ist der Zähler und unten ist der Nenner:
kurz & allgemein
Erweitern von Brüchen
Nenner und Zähler werden mit der gleichen Zahl multipliziert, Beispiel:
Ihr seht, der Wert bleibt dabei gleich!
Kürzen von Brüchen
Nenner und Zähler werden mit der gleichen Zahl dividiert, Beispiel:
Ihr seht, der Wert bleibt auch hier gleich!
1. Addition von Brüchen
Bei der Addition von Brüchen (bei verschiedenen Nennern) müssen die Nenner gleichnamig gemacht werden. Das geht am einfachsten, wenn man den ersten Bruch a/b mit dem Nenner vom 2. Bruch (also d) erweitert, und den zweiten Bruch c/d mit dem Nenner vom 1. Bruch (also b) erweitert:
Tipp: Setzt für die Variablen einfach echte Zahlen ein und testet die Formel! Zum Beispiel so:
2. Subtraktion von Brüchen
Bei der Subtraktion gelten die gleichen Regeln wie bei der Addition:
3. Multiplikation von Brüchen
Das ist wahrscheinlich die einfachste Regel, mit den Worten eines Schülers ausgedrückt: "oben mal oben und unten mal unten!"
4. Division von Brüchen
Bei der Division muss man immer zuerst den Kehrwert (Reziproke) bilden! Das heißt, Zähler und Nenner beim zweiten Bruch vertauschen. Danach darf bequem multipliziert werden:
5. Gemischte Zahlen
Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Bruch dahinter:
Man kann sich deren Umwandlung in einen reinen Bruch wie folgt denken, indem man das c zu einem c/1 schreibt, dann gleichnamig macht und addiert:
6. Echter Bruch, Unechter Bruch, Scheinbruch
Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler (im Betrag) kleiner ist als der Nenner. Zum Beispiel:
Ein unechter Bruch hingegen ist ein Bruch, bei dem der Zähler (im Betrag) größer ist als der Nenner. Zum Beispiel:
Aus einem unechten Bruch lässt sich eine gemischte Zahl erschaffen, für das Beispiel:
Als Scheinbruch bezeichnet man Brüche, die zu ganzen Zahlen umgewandelt werden können, so beispielsweise:
oder auch 
Zusatz:
Warum eigentlich Kehrwert (Reziproke) bei Division von Brüchen?
Wer sich schon immer gefragt hat, warum man bei der Division Nenner und Zähler vertauschen muss und dann multipliziert anstatt dividiert, der kann sich Folgendes denken:
Wichtig: Eine Division mit einer Ganzen Zahl kann durch eine Multiplikation mit einem Bruch ausgedrückt werden. Noch ein Beispiel hierzu:
Rationale Zahlen
Mit der Bruchrechnung erschließen wir übrigens eine neue Zahlenmenge, die sich Rationale Zahlen nennt und mit dem Zeichen ℚ gekennzeichnet wird. Quotient stammt von dem lateinischen Wort "quotiens" und kann mit "wie oft" übersetzt werden. Es bezieht sich darauf, wie oft eine Zahl durch eine andere teilbar ist.
Man schreibt
für die Rationalen Zahlen (Bruchzahlen). Jede Zahl, die in einen Bruch umgewandelt werden kann, ist eine Rationale Zahl!
Beispiel:
Auch ganze Zahlen sind rationale Zahlen, man kann sie stets umwandeln (mithilfe von einem Eintel), als Beispiel:
Regeln zur Bruchrechnung
kurz & allgemein
Erweitern von Brüchen
Nenner und Zähler werden mit der gleichen Zahl multipliziert, Beispiel:
Ihr seht, der Wert bleibt dabei gleich!
Kürzen von Brüchen
Nenner und Zähler werden mit der gleichen Zahl dividiert, Beispiel:
Ihr seht, der Wert bleibt auch hier gleich!
1. Addition von Brüchen
Bei der Addition von Brüchen (bei verschiedenen Nennern) müssen die Nenner gleichnamig gemacht werden. Das geht am einfachsten, wenn man den ersten Bruch a/b mit dem Nenner vom 2. Bruch (also d) erweitert, und den zweiten Bruch c/d mit dem Nenner vom 1. Bruch (also b) erweitert:
Tipp: Setzt für die Variablen einfach echte Zahlen ein und testet die Formel! Zum Beispiel so:
2. Subtraktion von Brüchen
Bei der Subtraktion gelten die gleichen Regeln wie bei der Addition:
3. Multiplikation von Brüchen
Das ist wahrscheinlich die einfachste Regel, mit den Worten eines Schülers ausgedrückt: "oben mal oben und unten mal unten!"
4. Division von Brüchen
Bei der Division muss man immer zuerst den Kehrwert (Reziproke) bilden! Das heißt, Zähler und Nenner beim zweiten Bruch vertauschen. Danach darf bequem multipliziert werden:
5. Gemischte Zahlen
Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Bruch dahinter:
Man kann sich deren Umwandlung in einen reinen Bruch wie folgt denken, indem man das c zu einem c/1 schreibt, dann gleichnamig macht und addiert:
6. Echter Bruch, Unechter Bruch, Scheinbruch
Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler (im Betrag) kleiner ist als der Nenner. Zum Beispiel:
Ein unechter Bruch hingegen ist ein Bruch, bei dem der Zähler (im Betrag) größer ist als der Nenner. Zum Beispiel:
Aus einem unechten Bruch lässt sich eine gemischte Zahl erschaffen, für das Beispiel:
Als Scheinbruch bezeichnet man Brüche, die zu ganzen Zahlen umgewandelt werden können, so beispielsweise:
oder auch Zusatz:
Warum eigentlich Kehrwert (Reziproke) bei Division von Brüchen?
Wer sich schon immer gefragt hat, warum man bei der Division Nenner und Zähler vertauschen muss und dann multipliziert anstatt dividiert, der kann sich Folgendes denken:
Wichtig: Eine Division mit einer Ganzen Zahl kann durch eine Multiplikation mit einem Bruch ausgedrückt werden. Noch ein Beispiel hierzu:
Rationale Zahlen
Mit der Bruchrechnung erschließen wir übrigens eine neue Zahlenmenge, die sich Rationale Zahlen nennt und mit dem Zeichen ℚ gekennzeichnet wird. Quotient stammt von dem lateinischen Wort "quotiens" und kann mit "wie oft" übersetzt werden. Es bezieht sich darauf, wie oft eine Zahl durch eine andere teilbar ist.
Man schreibt
für die Rationalen Zahlen (Bruchzahlen). Jede Zahl, die in einen Bruch umgewandelt werden kann, ist eine Rationale Zahl!Beispiel:
Auch ganze Zahlen sind rationale Zahlen, man kann sie stets umwandeln (mithilfe von einem Eintel), als Beispiel:
★ Nächste Lektion:
#09: Rechnen mit Komma
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