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In dieser Lektion behandeln wir das Rechnen mit Brüchen! Hierzu gibt es eine kurze Einführung ins Thema, danach schauen wir uns an, wie man Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann - und wie die Regeln zur Bruchrechnung überhaupt entstehen!
Teil 1
Teil 2
Teil 3
Teil 4
Teil 5
Brüche: Eine einfache Einführung
Zähler und Nenner, Erweitern und Kürzen,
Zusammenhang zwischen Division und Bruch
Zähler und Nenner, Erweitern und Kürzen,
Zusammenhang zwischen Division und Bruch
Brüche addieren und subtrahieren
Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichen und verschiedenen Nennern, Brüche gleichnamig machen (gemeinsamen Nenner bilden)
Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichen und verschiedenen Nennern, Brüche gleichnamig machen (gemeinsamen Nenner bilden)
Brüche multiplizieren
Multiplikation von Zahl * Bruch und Bruch * Bruch, Umwandlung einer Zahl in einen Bruch, Herleitung der Multiplikationsregeln für Brüche, Veranschaulichung der einzelnen Rechenschritte
Multiplikation von Zahl * Bruch und Bruch * Bruch, Umwandlung einer Zahl in einen Bruch, Herleitung der Multiplikationsregeln für Brüche, Veranschaulichung der einzelnen Rechenschritte
Brüche dividieren
Division von Brüchen inklusive Herleitung der Regeln,
Kehrwert/Reziproke, Doppelbruch, Zusammenfassung Bruchrechenregeln
Videobeginn: Rechentrick Diagonalkürzen bei Multiplikation
Division von Brüchen inklusive Herleitung der Regeln,
Kehrwert/Reziproke, Doppelbruch, Zusammenfassung Bruchrechenregeln
Videobeginn: Rechentrick Diagonalkürzen bei Multiplikation
Brucharten & Gemischte Zahlen
Stammbruch, echter und unechter Bruch, Scheinbruch, Dezimalbruch, Rechnen mit Gemischten Zahlen, Umwandlung Bruch ↔ Gemischte Zahl, Zahlenmenge: Rationale Zahlen, Vorzeichen bei Zähler und Nenner
Stammbruch, echter und unechter Bruch, Scheinbruch, Dezimalbruch, Rechnen mit Gemischten Zahlen, Umwandlung Bruch ↔ Gemischte Zahl, Zahlenmenge: Rationale Zahlen, Vorzeichen bei Zähler und Nenner
Nachdem ihr die Videos gesehen habt, könnt ihr euer neues Wissen mit der Lernprogramme zu den Brüchen testen.
Fragen und Antworten
Bruchrechnen mit Kuchenstücken
Gemischte Zahl und Bruch zusammenrechnen
Bruchrechnung mit Stunden und Minuten
Gemischte Zahl und Bruch zusammenrechnen
Bruchrechnung mit Stunden und Minuten
Nächste Video-Lektion:
G09: Rechnen mit Komma
Lernprogramme Brüche
Brüche am Kreis Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren Addition von Brüchen (grafisch) Umwandlung Bruch in Gemischte Zahl
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Wissen zur Lektion
Merkt euch neben den Rechenregeln unbedingt auch die Bezeichnungen, oben ist der Zähler und unten ist der Nenner:
Regeln zur Bruchrechnung
Erweitern von Brüchen
Nenner und Zähler werden mit der gleichen Zahl multipliziert, Beispiel:
Ihr seht, der Wert bleibt dabei gleich!
Kürzen von Brüchen
Nenner und Zähler werden mit der gleichen Zahl dividiert, Beispiel:
Ihr seht, der Wert bleibt auch hier gleich!
1. Addition von Brüchen
Bei der Addition von Brüchen (bei verschiedenen Nennern) müssen die Nenner gleichnamig gemacht werden. Das geht am einfachsten, wenn man den ersten Bruch a/b mit dem Nenner vom 2. Bruch (also d) erweitert, und den zweiten Bruch c/d mit dem Nenner vom 1. Bruch (also b) erweitert:
Tipp: Setzt für die Variablen einfach echte Zahlen ein und testet die Formel! Zum Beispiel so:
2. Subtraktion von Brüchen
Bei der Subtraktion gelten die gleichen Regeln wie bei der Addition:
3. Multiplikation von Brüchen
Das ist wahrscheinlich die einfachste Regel, mit den Worten eines Schülers ausgedrückt: "oben mal oben und unten mal unten!"
4. Division von Brüchen
Bei der Division muss man immer zuerst den Kehrwert (Reziproke) bilden! Das heißt, Zähler und Nenner beim zweiten Bruch vertauschen. Danach darf bequem multipliziert werden:
5. Gemischte Zahlen
Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Bruch dahinter:
Man kann sich deren Umwandlung in einen reinen Bruch wie folgt denken, indem man das c zu einem c/1 schreibt, dann gleichnamig macht und addiert:
6. Echter Bruch, Unechter Bruch, Scheinbruch
Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler (im Betrag) kleiner ist als der Nenner. Zum Beispiel:
Ein unechter Bruch hingegen ist ein Bruch, bei dem der Zähler (im Betrag) größer ist als der Nenner. Zum Beispiel:
Aus einem unechten Bruch lässt sich eine gemischte Zahl erschaffen, für das Beispiel:
Als Scheinbruch bezeichnet man Brüche, die zu ganzen Zahlen umgewandelt werden können, so beispielsweise:
oder auch 
Zusatz:
Warum muss man eigentlich Zähler und Nenner bei der Division von Brüchen vertauschen?
Wer sich schon immer gefragt hat, warum man bei der Division Nenner und Zähler vertauschen muss (den Kehrwert bildet) und dann multipliziert anstatt dividiert, der kann sich Folgendes denken:
Wichtig: Eine Division mit einer Ganzen Zahl kann durch eine Multiplikation mit einem Bruch ausgedrückt werden.
Noch ein Beispiel hierzu:
Rationale Zahlen
Mit der Bruchrechnung erschließen wir übrigens eine neue Zahlenmenge, die sich Rationale Zahlen nennt und mit dem Zeichen ℚ gekennzeichnet wird. Quotient stammt von dem lateinischen Wort "quotiens" und kann mit "wie oft" übersetzt werden. Es bezieht sich darauf, wie oft eine Zahl durch eine andere teilbar ist.
Man schreibt
für die Rationalen Zahlen (Bruchzahlen). Jede Zahl, die in einen Bruch umgewandelt werden kann, ist eine Rationale Zahl!Beispiel:
Auch ganze Zahlen sind rationale Zahlen, man kann sie stets umwandeln (mithilfe von einem Eintel), als Beispiel:
Zusatz: Kehrwert bei einer Gleichung
Den Kehrwert kann man übrigens auch beim Umstellen von Gleichungen verwenden (Stichwort Äquivalenzumformung), man muss ihn dann auf alle Elemente der Gleichung anwenden! Sofern ihr euch bereits die Lektion G12: Terme, Termumformung, Gleichungen umstellen angesehen habt, müsstet ihr das Folgende verstehen können:
Beispiel-Gleichung:
5/15 = 3/9
5:15 = 3:9 | * 9
9 * 5:15 = 9 * 3:9 | *15
15 * 9 * 5:15 = 15 * 9 * 3:9 | als nächstes wegkürzen
1 * 9 * 5:1 = 15 * 1 * 3:1
9 * 5 = 15 * 3
9 * 5 = 15 * 3 | :3
9 * 5 : 3 = 15 * 3 :3 | :5
9 * 5 : 3 :5 = 15 * 3 :3 :5 | als nächstes wegkürzen
9 * 1 : 3 :1 = 15 * 1 :1 :5
9 : 3 = 15 : 5
9/3 = 15/5
15/5 = 9/3
5/15 = 3/9 ist also äquivalent zu 15/5 = 9/3
Fazit: Der Kehrwert bei einer Gleichung ist nichts weiter als eine mehrfache Multiplikation bzw. Division der entsprechenden Werte.
Aufgaben
A. Hast Du das Erweitern verstanden? Dann erweitere jeden der nachstehenden Brüche auf den Nenner 12.
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B. Du weißt, wie man kürzt? Dann wende Dein Wissen an und kürze diese Brüche so weit es geht:
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C. Wandle die Brüche in Gemischte Zahlen um!
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Wandle nun die folgenden Gemischten Zahlen zurück in Brüche:
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D. Addiere die folgenden Brüche. Versuche außerdem, das Ergebnis zu kürzen und es als gemischte Zahl zu schreiben.
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E. Subtrahiere folgende Brüche und kürze das Ergebnis. Wandle in eine gemischte Zahl nur bei Nr. 5, 6 und 7 um!
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F. Multipliziere die folgenden Brüche und kürze das jeweilige Ergebnis.
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G. Dividiere die folgenden Brüche miteinander:
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H. Echter, unechter oder Scheinbruch ?! Entscheide selbst:
1.
ist ein __________
2.
ist ein __________
3.
ist ein __________
4.
ist ein __________
5.
ist ein __________
I. Abschließend einige Anwendungsaufgaben:
1. Leon möchte einen Laptop für 400 Euro kaufen, ein Drittel des Geldes bekommt er von seinen Eltern, ein Fünftel von seinem Onkel. Wie viel muss er selbst bezahlen?
2. Die Klasse 8c hat 24 Schüler. Ein Sechstel von ihnen kann sehr gut mit Brüchen rechnen und hat daher in Mathe eine Eins bekommen. Wie viele Schüler sind das?
3. Max und seine Frau kaufen ein Haus für 120.000 Euro. Ein Neuntel von diesem Betrag müssen sie an Steuern zahlen. Wie viel Euro müssen an die Steuerbehörde überwiesen werden?
4. Ein Tag hat 24 Stunden. Nehmen wir ein Zehntel davon, so haben wir wie viele Stunden und Minuten?
5. Wir laufen ein Zwanzigstel von 3 Kilometern. Wie können wir dies in Meter ausdrücken?
6. Wir mixen 100 ml Milch mit 300 ml Cola und 200 ml Saft :) Welchen Anteil hat unser Getränkemix von zwei Liter? Schreibe als Bruch!
7. Der Alkoholiker Klaus M. trinkt im Durchschnitt 9 Flaschen Bier à 1/2 Liter täglich. Wie viel Bier hat er im Monat April getrunken?
8. In eine kleine Flasche passen 0,5 Liter Cola. Maurice trinkt einen Viertel davon, wie viel befindet sich noch in der Flasche?
9. Ein Kanister mit einem Fassungsvermögen von 42 Litern wird zu 3/5 mit Wasser gefüllt. Wie viele Liter Wasser befinden sich im Kanister?
10. In Europa leben im Jahr 2011 geschätzt 700 Millionen Menschen. 2/7 von ihnen spricht sehr gutes Englisch. Von dieser Gruppe sind wiederum 3/10 Muttersprachler. Wie viele Muttersprachler gibt es?
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B. Du weißt, wie man kürzt? Dann wende Dein Wissen an und kürze diese Brüche so weit es geht:
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C. Wandle die Brüche in Gemischte Zahlen um!
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Wandle nun die folgenden Gemischten Zahlen zurück in Brüche:
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D. Addiere die folgenden Brüche. Versuche außerdem, das Ergebnis zu kürzen und es als gemischte Zahl zu schreiben.
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E. Subtrahiere folgende Brüche und kürze das Ergebnis. Wandle in eine gemischte Zahl nur bei Nr. 5, 6 und 7 um!
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F. Multipliziere die folgenden Brüche und kürze das jeweilige Ergebnis.
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G. Dividiere die folgenden Brüche miteinander:
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H. Echter, unechter oder Scheinbruch ?! Entscheide selbst:
1.
ist ein __________2.
ist ein __________3.
ist ein __________4.
ist ein __________5.
ist ein __________I. Abschließend einige Anwendungsaufgaben:
1. Leon möchte einen Laptop für 400 Euro kaufen, ein Drittel des Geldes bekommt er von seinen Eltern, ein Fünftel von seinem Onkel. Wie viel muss er selbst bezahlen?
2. Die Klasse 8c hat 24 Schüler. Ein Sechstel von ihnen kann sehr gut mit Brüchen rechnen und hat daher in Mathe eine Eins bekommen. Wie viele Schüler sind das?
3. Max und seine Frau kaufen ein Haus für 120.000 Euro. Ein Neuntel von diesem Betrag müssen sie an Steuern zahlen. Wie viel Euro müssen an die Steuerbehörde überwiesen werden?
4. Ein Tag hat 24 Stunden. Nehmen wir ein Zehntel davon, so haben wir wie viele Stunden und Minuten?
5. Wir laufen ein Zwanzigstel von 3 Kilometern. Wie können wir dies in Meter ausdrücken?
6. Wir mixen 100 ml Milch mit 300 ml Cola und 200 ml Saft :) Welchen Anteil hat unser Getränkemix von zwei Liter? Schreibe als Bruch!
7. Der Alkoholiker Klaus M. trinkt im Durchschnitt 9 Flaschen Bier à 1/2 Liter täglich. Wie viel Bier hat er im Monat April getrunken?
8. In eine kleine Flasche passen 0,5 Liter Cola. Maurice trinkt einen Viertel davon, wie viel befindet sich noch in der Flasche?
9. Ein Kanister mit einem Fassungsvermögen von 42 Litern wird zu 3/5 mit Wasser gefüllt. Wie viele Liter Wasser befinden sich im Kanister?
10. In Europa leben im Jahr 2011 geschätzt 700 Millionen Menschen. 2/7 von ihnen spricht sehr gutes Englisch. Von dieser Gruppe sind wiederum 3/10 Muttersprachler. Wie viele Muttersprachler gibt es?
Lösungen
5 Kommentare:
Ich schreibe morgen eine mathearbeit, und ich wusste nicht, wie ich das alles lernen sollte. Dann bin ich zufällig auf diese Seite gestoßen und habe alles kapiert. Total krass, des schafft noch nicht einmal mein papa... und das muss schon was heißen, also: ganz dickes Lob von mir.MIMI
Mano man muss echt sagen zur Wiederholung ist das echt gut !!!!
Werde ich jedem der in Mathe probleme hat weiter sagen ^^
mit freundlichen grüßen: Kampfkeks
Ich hab am anfang nix gescheckt aber danach bin ich voll der checker gaworden!!!!!!!!!!!!!!
coco hat gesagt die seite is spitze also hab ich sie ausprobiert und ich fand sie klasse ich empfehle sie auf jeden fall
VIELEN VIELEN DANK!!! Ich ziehe meinen Hut vor Menschen, die slche Projekte ins Leben rufen und verwirklichen!!! Viele Schüler und die deutsche Bildung sind alle zum Dank verpflichtet!!! Super - macht bitte weiter damit!!!