Mathe G11: ggT und kgV

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Die Begriffe ggT (größter gemeinsamer Teiler) und kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) sind jedem Schüler sicher schon mal begegnet. Doch was steckt dahinter und wozu braucht man das?

Dieses Geheimnis lösen die folgenden Videos. Voraussetzung zum Verstehen ist, dass ihr die Lektion Primzahlen + Primfaktorzerlegung vorher gesehen habt! Viel Spaß beim Anschauen!

Teil 1

Teil 2

ggT: Größter gemeinsamer Teiler
Was ist der größte gemeinsamer Teiler zweier Zahlen,
Bedeutung und Anwendung

kgV: Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache,
ausführliche Erklärung und Anwendung bei den Brüchen

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Nächste Video-Lektion:


G12: Terme, Termumformung, Gleichungen

Lernprogramme ggT und kgV

Wissen zur Lektion

größter gemeinsamer Teiler

Der ggT gibt die größtmögliche Zahl an, durch die zwei Zahlen teilbar sind.

Berechnung: Zahlen in Primfaktoren zerlegen und gleiche Primfaktoren zusammenfassen.

Beispiel:
8 = 2*2*2
20 = 2*2*5
ggT = 2*2 = 4

Wir schreiben: ggT(8, 20) = 4

Sollten die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler besitzen (also nur Division :1 funktioniert), verwenden wir das Wort "teilerfremd".

kleinstes gemeinsames Vielfaches

Das kgV gibt an, wann sich die Vielfachen von zwei Zahlen zum ersten Mal begegnen.

Berechnung: Zahlen in Primfaktoren zerlegen und Primfaktoren (jeweils in höchster Anzahl) zusammenfassen.

Beispiel:
6 = 2*3
8 = 2*2*2
kgV = 2*2*2 *3 = 24

Wir schreiben: kgV(6, 8) = 24

Zur Kontrolle führen wir uns die Vielfachen nochmals vor Augen:
→ Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
→ Vielfache von 8: 8, 16, 24, 32, ...

Das kgV von 6 und 8 ist also 24, die erste Zahl, bei der sich die Vielfachen von 6 und 8 erstmals treffen!

Aufgaben

Teste dein Wissen zu ggT und kgV mit diesen Aufgabenblöcken! Alle Berechnung sind im Kopf bzw. auf Papier zu erledigen.

A. Bilde den ggT für folgende Werte:

1. ggT(10,100)
2. ggT(60,75)
3. ggT(81,120)
4. ggT(25,100)
5. ggT(600,80)
6. ggT(20,60,44)
7. ggT(125,250,375)

---

B. Bilde das kgV für folgende Werte:

1. kgV(10,60)
2. kgV(12,40)
3. kgV(9,15)
4. kgV(25,105)
5. kgV(20,110)
6. kgV(4,5,6)
7. kgV(18,25,45,50)

---

C. Bruchaufgabe zum ggT

Zerlege Zähler und Nenner des Bruches in Primfaktoren. Bilde dann den größten gemeinsamen Teiler beider Zahlen. Auf welchen Bruch kann gekürzt werden?

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D. Bruchaufgabe zum kgV

Zerlege die Nenner des Bruches in ihre Primfaktoren und bilde dann den gemeinsamen Nenner über das kgV. Addiere anschließend beide Brüche miteinander. Wie lautet das kgV? Was für einen Bruch erhältst du als Ergebnis?

Lösungen

A. Lösungen (ggT)
In Primfaktoren zerlegen und nur übereinstimmende zusammenfassen:

1. ggT(10,100) = 2*5 = 10
10 = 2*5
100 = 2*2*5*5

2. ggT(60,75) = 3*5 = 15
60 = 2*2*3*5
75 = 3*5*5

3. ggT(81,120) = 3
81 = 3*3*3*3
120 = 2*2*2*3*5

4. ggT(25,100) = 5*5 = 25
25 = 5*5
100 = 2*2*5*5

5. ggT(600,80) = 2*2*2*5 = 40
600 = 2*2*2*3*5*5
80 = 2*2*2*2*5

6. ggT(20,60,44) = 2*2 = 4
20 = 2*2*5
60 = 2*2*3*5
44 = 2*2*11

7. ggT(125,250,375) = 5*5*5 = 125
125 = 5*5*5
250 = 2*5*5*5
375 = 3*5*5*5

---

B. Lösungen (kgV)
In Primfaktoren zerlegen und alle in höchster Anzahl übernehmen:

1. kgV(10,60) = 2*2*3*5 = 60
10 = 2*5
60 = 2*2*3*5

2. kgV(12,40) = 2*2*2*3*5 = 120
12 = 2*2*3
40 = 2*2*2*5

3. kgV(9,15) = 3*3*5 = 45
9 = 3*3
15 = 3*5

4. kgV(25,100) = 2*2*5*5 = 100
25 = 5*5
100 = 2*2*5*5

5. kgV(20,110) = 2*2*5*11 = 220
20 = 2*2*5
110 = 2*5*11

6. kgV(4,5,6) = 2*2*3*5 = 60
4 = 2*2
5 = 5
6 = 2*3

7. kgV(18,25,45,50) = 2*3*3*5*5 = 450
18 = 2*3*3
25 = 5*5
45 = 3*3*5
50 = 2*5*5

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C. Lösung (Bruchaufgabe ggT):

Zerlegung in Primfaktoren (also Primzahlen in Multiplikation):



Als nächstes kürzen wir die Primfaktoren in Zähler und Nenner miteinander (wir streichen die gleichen Zahlen weg).



Die weggestrichenen Primfaktoren ergeben zusammen den größten gemeinsamen Teiler!

→ Schlussfolgerung: 2 * 3 * 7 = 42 ist der ggT!
bzw. ggT(1344,126) = 42

Es bleiben folgende Primfaktoren übrig:



Wir haben also mit 42 (dem ggT) so weit wie möglich gekürzt:

---

D. Lösung (Bruchaufgabe kgV):



Zerlegung in Primfaktoren (Primzahlen):



Wir erweitern mit den jeweils fehlenden Primfaktoren, um die Nenner gleichnamig zu machen:



→ Schlussfolgerung: 2 * 2 * 5 * 5 * 7 * 11 = 7700 ist das kgV!
bzw. kgV(70,1100) = 7700

Beide Summanden auf den gemeinsamen Nenner zusammengefasst:





Anstatt also einfach nur die Nenner zu multiplizieren (70*1100=77.000), um auf einen gemeinsamen Nenner zu kommen, haben wir nur auf das kleinste gemeinsame Vielfache, der 7700 erweitert!

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