Die Begriffe ggT (größter gemeinsamer Teiler) und kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) hat jeder Schüler schon mal gehört. Doch was steckt dahinter und wozu braucht man das?
Dieses Geheimnis lösen die folgenden Videos. Viel Spaß beim Anschauen!
Und vergesst nicht, euer Wissen mit der Lernsoftware unten zu testen.
ggT und kgV (Teil 1 von 2) - Größter gemeinsamer Teiler
ggT und kgV (Teil 2 von 2) - Kleinstes gemeinsames Vielfaches
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Der ggT gibt die größtmögliche Zahl an, durch die zwei Zahlen teilbar sind. Berechnung: Zahlen in Primfaktoren zerlegen und gleiche Primfaktoren zusammenfassen.
Das kgV gibt an, wann sich die Vielfachen von zwei Zahlen zum ersten Mal begegnen. Berechnung: Zahlen in Primfaktoren zerlegen und Primfaktoren (jeweils in höchster Anzahl) zusammenfassen.
Das Wort "teilerfremd" verwendet man, wenn die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler besitzen (also nur die Division :1 funktioniert).
Lernsoftware
Aufgaben
1. ggT
Zerlege Zähler und Nenner des Bruches in Primfaktoren. Bilde dann den größten gemeinsamen Teiler beider Zahlen. Auf welchen Bruch kann gekürzt werden?
2. kgV
Zerlege die Nenner des Bruches in ihre Primfaktoren und bilde dann den gemeinsamen Nenner über das kgV. Anschileßend addiere beide Brüche miteinander. Wie lautet das kgV? Was für einen Bruch erhältst du als Ergebnis?
Zerlege Zähler und Nenner des Bruches in Primfaktoren. Bilde dann den größten gemeinsamen Teiler beider Zahlen. Auf welchen Bruch kann gekürzt werden?
2. kgV
Zerlege die Nenner des Bruches in ihre Primfaktoren und bilde dann den gemeinsamen Nenner über das kgV. Anschileßend addiere beide Brüche miteinander. Wie lautet das kgV? Was für einen Bruch erhältst du als Ergebnis?
Lösungen
1. Für den größten gemeinsamen Teiler (ggT):
Zerlegung in Primzahlen!
Nun kürzen wir die Primzahlen in Zähler und Nenner miteinander (wir streichen die gleichen Zahlen weg).
Die weggestrichenen Primfaktoren ergeben zusammen den größten gemeinsamen Teiler!
→ Schlussfolgerung: 2 * 3 * 7 = 42 ist der ggT!
bzw. ggT(1344,126) = 42
Es bleiben folgende Primfaktoren übrig:
Wir haben also mit 42 (dem ggT) so weit wie möglich gekürzt:
2. Für das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV):
Zerlegung in Primzahlen!
Wir erweitern mit den jeweils fehlenden Primfaktoren, um die Nenner gleichnamig zu machen:
→ Schlussfolgerung: 2 * 2 * 5 * 5 * 7 * 11 = 7700 ist das kgV!
bzw. kgV(70,1100) = 7700
Beide Summanden auf den gemeinsamen Nenner zusammengefasst:
Anstatt also einfach nur die Nenner zu multiplizieren (70*1100=77.000), um auf einen gemeinsamen Nenner zu kommen, haben wir nur auf das kleinste gemeinsame Vielfache, der 7.700 erweitert!
Zerlegung in Primzahlen!
Nun kürzen wir die Primzahlen in Zähler und Nenner miteinander (wir streichen die gleichen Zahlen weg).
Die weggestrichenen Primfaktoren ergeben zusammen den größten gemeinsamen Teiler!
→ Schlussfolgerung: 2 * 3 * 7 = 42 ist der ggT!
bzw. ggT(1344,126) = 42
Es bleiben folgende Primfaktoren übrig:
Wir haben also mit 42 (dem ggT) so weit wie möglich gekürzt:
2. Für das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV):
Zerlegung in Primzahlen!
Wir erweitern mit den jeweils fehlenden Primfaktoren, um die Nenner gleichnamig zu machen:
→ Schlussfolgerung: 2 * 2 * 5 * 5 * 7 * 11 = 7700 ist das kgV!
bzw. kgV(70,1100) = 7700
Beide Summanden auf den gemeinsamen Nenner zusammengefasst:
Anstatt also einfach nur die Nenner zu multiplizieren (70*1100=77.000), um auf einen gemeinsamen Nenner zu kommen, haben wir nur auf das kleinste gemeinsame Vielfache, der 7.700 erweitert!
★ Nächste Lektion:
#12: Terme, Termumformung, Gleichungen umstellen
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