Wir hatten Zahlenmengen bereits in den Mathe-Videos kennengelernt: Natürliche Zahlen (1, 2, 3,...), Ganze Zahlen (... -2, -1, 0, 1, 2,...) und Rationale Zahlen (also alle Zahlen, die als Bruch schreibbar sind).
Um nun die Herleitung der Irrationalen Zahlen verstehen zu können, müsst ihr wissen, wie man Gleichungen umstellt (Äquivalenzumformung) und ihr solltet die Lernvideos Potenzen + Wurzeln gesehen haben. Auch müsst ihr wissen, was gerade Zahlen sind (allgemein z = 2*k, also z. B. 8 = 2*4).
Das folgende Mathematik-Video gibt die notwendigen Details zu den Irrationalen Zahlen:
Irrationale Zahlen und Reelle Zahlen
Merken wir uns also: Irrationale Zahlen
1. sind nicht als Bruch darstellbar
2. haben unendlich viele Nachkommastellen
3. haben Nachkommastellen, die nicht periodisch sind.
Alles klar?! :)
Nachdem ihr das Video gesehen habt, werdet ihr wahrscheinlich verstehen, weshalb ihr in der Schule (wenn ihr eine Lösung für eine Aufgabe mit einer Unbekannten x gefunden habt) häufig schreibt:
Damit sagt ihr ganz einfach, dass sich die Lösung in der Menge aller reeller Zahlen befindet (x ist Element aus R).
Das R ist das Zeichen für die Reellen Zahlen. Sie ergeben sich aus den Rationalen Zahlen und den Irrationalen Zahlen. In der Mengenlehre schreibt man (anstatt Plus ein gebogenes Zeichen):
Reelle Zahlen = Rationale Zahlen + Irrationale Zahlen
Übrigens umfassen die Reellen Zahlen alle Zahlen, die ihr auf einem Zahlenstrahl finden könnt.
Beispiele für Irrationale Zahlen:
-
mit 1,41421356...- Kreiszahl π (Pi) mit 3,14159265...
- Eulersche Zahl e mit 2,71828182...
Nun sollten die Zahlenmengen kein Problem mehr für euch sein,
hier die Übersicht:
ℕ - Natürliche Zahlen
ℤ - Ganze Zahlen
ℚ - Rationale Zahlen (Bruchzahlen)
I - Irrationale Zahlen
ℝ - Reelle Zahlen
Der Nachweis der Irrationalen Zahlen, wie er im Video zu sehen ist, ist übrigens ein zahlentheoretische Beweis, der indirekt durch Widerspruch geführt wird. Er wurde von dem griechischen Mathematiker Euklid überliefert. Indirekte Beweisführung meint hierbei, dass die Annahme des Gegenteils (dass die Wurzel aus 2 als Bruch a/b darstellbar sei) zu einem Widerspruch führt.
★ Nächste Lektion:
G22: Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln
5 comments:
Hey,
danke für das tolle Video!
Weißt du zufällig, wie man gut begünden kann dass a gerade sein muss, wenn a^2 gerade ist? Das kann ich nur durch Ausprobieren nachvollziehen, aber das ist irgendwie so schwammig.
Liebe Grüße
Kathrin
Annahme: Wenn a² gerade ist, ist auch a gerade.
Nachweis in drei Schritten:
I. Jede gerade Zahl kann dargestellt werden mit einer anderen Zahl als 2*k
WENN a gerade ist (a = 2*k) und man a quadriert gilt:
a² = (2*k)²
a² = 2*2*k*k
a² = 2*(2k²)
a² ist also auch gerade.
Fazit: Eine gerade Zahl ins Quadrat ergibt eine gerade Zahl.
II. Jede ungerade Zahl kann dargestellt werden mit 2*k+1
WENN a ungerade ist (a = 2*k+1) und man a quadriert gilt:
a² = (2k+1)²
a² = 4k²+4k+1
a² = 2*(2k²+2k)+1
D. h. der Term 2*(2k²+2k) ist zwar gerade, da er durch 2 teilbar ist, doch durch die +1 wird er ungerade. Siehe auch Lektion Teilbarkeit.
Fazit: Eine ungerade Zahl ins Quadrat ergibt eine ungerade Zahl.
III. Nun folgt eine Schlussfolgerung, eine sogenannte "äquivalente Implikation" mit: "Wenn Aussage A, dann Aussage B." und "Wenn Aussage B, dann auch Aussage A.":
(A ⇒ B) ^ (B ⇒ A) bzw. A ⇔ B
Ahhh, okay. Das macht Sinn. Klasse! Dankeschön!
Kannst du erklären wie du genau von 2b^2 = a^2 auf a=2z schließt?
wenn ich auflöse nach a ergibt sich bei mir: a= Wurzel(2(b^2))
Wieso muss sich a aus 2 gleichen Zahlen zusammensetzen und nicht aus einer geraden und einer ungeraden Zahl?
Und vielen vielen herzlichen Dank für die tollen Videos und Beantwortung der Kommentare. Man sollte ein neues Schulsystem einführen mit deinen Videos :D.
"Kannst du erklären wie du genau von 2b² = a² auf a=2z schließt?"
Das hat nichts mit dem 2b² zu tun. Hier wird das a² alleine betrachtet. Für den Nachweis siehe http://www.youtube.com/watch?v=evE13aFbJho#t=04m40s
z = 2*k
z² = 2²*k²
z² = 2*2k²
Jede gerade Zahl quadriert, ergibt eine quadrierte Zahl. Jede quadrierte gerade Zahl hat also eine gerade Zahl als Ursprung!