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In diesen beiden Mathematik-Videos betrachten wir uns die Teilbarkeit für die Zahlen 0 bis 10. Wir klären, warum die Division durch Null nicht definiert ist und warum die Teilbarkeitsregeln funktionieren.
Teil 1
Teil 2
Wieso ist die Division durch Null nicht definiert. Was ist eine Quersumme und wozu braucht man sie.
Herleitung der Teilbarkeitsregeln von Eins bis Vier.
Teilbarkeitsregeln für Fünf, Sechs, Sieben, Acht, Neun, Zehn,
Anwendung bei den Brüchen,
Zusammenfassung aller Teilbarkeitsregeln
Fragen und Antworten
Nächste Video-Lektion:
G23: Logarithmus und Logarithmengesetze
Lernprogramme Teilbarkeit
Mit diesem Mathe-Programm könnt ihr schnell und einfach die Teiler einer beliebigen Zahl bestimmen! Primzahlen werden extra hervorgehoben.
Wissen zur Lektion
Null dividiert durch eine Zahl
Die Null ist übrigens durch jede Zahl (außer der Null selbst) teilbar. Das erkennt ihr, wenn ihr folgende Gleichung umformt:
0*n = 0
// :n auf beiden Seiten
0*n:n = 0:n
0*1 = 0:n
0 = 0:n
// Seiten tauschen
0:n = 0
Dass man durch Null nicht teilen darf, haben wir im 1. Video gesehen. Es gibt hierzu auch eine kleine Eselsbrücke, die einfach zu merken ist:
"Du kannst alles im Leben teilen, aber nicht durch Null!"
Zusammenfassung der Teilbarkeitsregeln
:0 → nicht definiert (also nicht möglich)
:1 → jede Zahl ist :1 teilbar
:2 → jede gerade Zahl ist :2 teilbar
:3 → Quersumme muss :3 teilbar sein
:4 → letzten 2 Ziffern der Zahl müssen :4 teilbar sein
:5 → Zahl muss mit 0 oder 5 enden
:6 → Zahl muss :2 und :3 teilbar sein
:7 → Summe (letzten 2 Ziffern + 2*alle vorderen Ziffern) muss : 7 teilbar sein
:8 → letzten 3 Ziffern der Zahl müssen :8 teilbar sein
:9 → Quersumme muss :9 teilbar sein
:10 → Zahl muss mit 0 enden
Ergänzungen zur Teilbarkeit
Bonus-Material
Schreibweise für Teilbarkeit lautet: 6 | 18
das bedeutet nichts weiter als "6 ist Teiler von 18"
Die Teilermenge T meint die Auflistung aller Teiler einer Zahl.
Bei der Zahl 4 wäre die Teilermenge {1,2,4}
Eine Zahl durch sich selbst dividert ist immer 1, also
a:a = 1 → zum Beispiel 3:3 = 1
Es ist stets möglich, die Teilbarkeit über den Rest zu ermitteln.
Als Beispiel nehmen wir 345 : 3
= (300 + 40 + 5) : 3
= 300:3 + 40:3 + 5:3
= 100 + 39 + 1
Rest: 0 + 1 + 2 = 3
⇒ Rest 3 ist :3 teilbar, also ist auch 345 durch :3 teilbar
Die Teilbarkeit durch Sechs kann auch anders beschrieben werden. Im Video sagten wir, dass eine Zahl z :6 teilbar ist, wenn die Zahl z auch durch :2 und :3 teilbar ist. Dies kann man auch einfacher ausdrücken: "Ist die Quersumme einer geraden Zahl :3 teilbar, dann ist die Zahl :6 teilbar."
Interessant sind die Teilbarkeitsregeln für Sieben!
Neben der in der Video-Lektion vorgestellten gibt es noch weitere, z. B.:
1. Über die alternierende 3er Quersumme
alternierend = von Zahl zu Zahl wechselndes Vorzeichen
Beispiel:
7770784 = 7 + 770 - 784 = -7
⇒ (-7) ist : 7 teilbar, also ist auch 7770784 durch :7 teilbar
2. Mithilfe der Variante: Subtraktion des doppelten der letzten Ziffer von allen vorderen Ziffern, unter jeweiliger Wegnahme der letzten Ziffer (als Iteration)
Beispiel:
770784 → 77078 - 2*4 = 77070
77070 → 7707 - 2*0 = 7707
7707 → 770 - 2*7 = 756
756 → 75 - 2*6 = 63
⇒ 63 ist : 7 teilbar, also ist 770784 auch :7 teilbar
Die Regel heißt: "Eine Zahl 10a + b ist genau dann durch 7 teilbar, wenn a − 2b durch 7 teilbar ist."
Teilbarkeit durch Zwei, Vier, Acht, etc.
Wenn ihr euch die Teilbarkeit von 2, 4, 8 etc. anschaut, könnt ihr Folgendes ableiten:
z:2 = z:2¹ → zu testen: letzte 1 Ziffer :2
z:4 = z:2² → zu testen: letzten 2 Ziffern :4
z:8 = z:2³ → zu testen: letzten 3 Ziffern :8
Allgemein: z:
→ zu testen: letzten n Ziffern :
...es gibt viele Teilbarkeitsregeln, wenn ihr Interesse habt, noch tiefer einzusteigen, nutzt bitte die vielen Quellen im Internet dazu.
Schreibweise für Teilbarkeit lautet: 6 | 18
das bedeutet nichts weiter als "6 ist Teiler von 18"
Die Teilermenge T meint die Auflistung aller Teiler einer Zahl.
Bei der Zahl 4 wäre die Teilermenge {1,2,4}
Eine Zahl durch sich selbst dividert ist immer 1, also
a:a = 1 → zum Beispiel 3:3 = 1
Es ist stets möglich, die Teilbarkeit über den Rest zu ermitteln.
Als Beispiel nehmen wir 345 : 3
= (300 + 40 + 5) : 3
= 300:3 + 40:3 + 5:3
= 100 + 39 + 1
Rest: 0 + 1 + 2 = 3
⇒ Rest 3 ist :3 teilbar, also ist auch 345 durch :3 teilbar
Die Teilbarkeit durch Sechs kann auch anders beschrieben werden. Im Video sagten wir, dass eine Zahl z :6 teilbar ist, wenn die Zahl z auch durch :2 und :3 teilbar ist. Dies kann man auch einfacher ausdrücken: "Ist die Quersumme einer geraden Zahl :3 teilbar, dann ist die Zahl :6 teilbar."
Interessant sind die Teilbarkeitsregeln für Sieben!
Neben der in der Video-Lektion vorgestellten gibt es noch weitere, z. B.:
1. Über die alternierende 3er Quersumme
alternierend = von Zahl zu Zahl wechselndes Vorzeichen
Beispiel:
7770784 = 7 + 770 - 784 = -7
⇒ (-7) ist : 7 teilbar, also ist auch 7770784 durch :7 teilbar
2. Mithilfe der Variante: Subtraktion des doppelten der letzten Ziffer von allen vorderen Ziffern, unter jeweiliger Wegnahme der letzten Ziffer (als Iteration)
Beispiel:
770784 → 77078 - 2*4 = 77070
77070 → 7707 - 2*0 = 7707
7707 → 770 - 2*7 = 756
756 → 75 - 2*6 = 63
⇒ 63 ist : 7 teilbar, also ist 770784 auch :7 teilbar
Die Regel heißt: "Eine Zahl 10a + b ist genau dann durch 7 teilbar, wenn a − 2b durch 7 teilbar ist."
Teilbarkeit durch Zwei, Vier, Acht, etc.
Wenn ihr euch die Teilbarkeit von 2, 4, 8 etc. anschaut, könnt ihr Folgendes ableiten:
z:2 = z:2¹ → zu testen: letzte 1 Ziffer :2
z:4 = z:2² → zu testen: letzten 2 Ziffern :4
z:8 = z:2³ → zu testen: letzten 3 Ziffern :8
Allgemein: z:
→ zu testen: letzten n Ziffern :...es gibt viele Teilbarkeitsregeln, wenn ihr Interesse habt, noch tiefer einzusteigen, nutzt bitte die vielen Quellen im Internet dazu.
Aufgaben
[demnächst]
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