G12: Terme, Termumformung, Gleichungen

» Home » Grundlagen

Videos

Stell dir vor, du stehst vorne an der Tafel (mündliche Prüfung) und der Mathelehrer fragt dich: "Was ist eigentlich ein Term?" ... wenn du diese Frage nicht beantworten kannst, so richtet sich diese Lektion an dich!

Auch solltest du wissen, was mit "Äquivalenzumformung" gemeint ist. Wir wissen, dass der Begriff nicht besonders geläufig ist, doch Begriffe gehören ebenfalls zu den mathematischen Grundkenntnissen.

Teil 1

Teil 2

Terme, Termumformung, Gleichungen umstellen
Was ist ein Term, Umformen von Termen, Gleichungen umstellen (Äquivalenzumformung)

Terme, Termumformung, Gleichungen umstellen
Äquivalenzumformung, Hinführung zur Unbekannten, Lösung von
2 Beispielaufgaben mittels Aufstellen von Gleichungen, Lösungsmöglichkeiten für x (ein, kein, unendlich viele Ergebnisse)

Mathematik-Video online kaufenMathematik DVD kaufen

Falls du dich schon immer gefragt hast, warum man eigentlich Gleichungen umstellen kann und schließlich ein Ergebnis mit "x = Zahl" herausbekommt, so geben dir die Videos eine Antwort darauf.

Fragen und Antworten

Gleichungen lösen fällt mir schwer
Wie werden Formeln umgestellt?
Gleichungen aufstellen bei Textaufgabe 'Taschengeld'
Gleichung mit zwei x auf beiden Seiten lösen: x - 13 = -12 + 5 x
Gleichungen aufstellen bei Textaufgabe 'Altersunterschied'
Textaufgabe mit unbekanntem Gewicht (Gleichung aufstellen und lösen)
Ausmultiplizieren und Gleichung lösen
Zahl und Variable: Bindung bei der Division, 3:4x = (3:4)*x oder 3:(4*x)
Zwei Klammern multiplizieren - enthalten beide die Variable x

Nächste Video-Lektion:


G13: Ungleichungen

Lernprogramme Gleichungen

Ein Programm, mit dem ihr beliebige Gleichungen lösen könnt, befindet sich in Entwicklung!

Wir bitten um Geduld.

Wissen zur Lektion

Term = sinnvoller mathematischer Ausdruck

Termumformung
Die Termumformung ist die Veränderung eines Terms von einer Form zu einer anderen, wobei sie den gleichen Sinn bzw. Wahrheitsgehalt haben muss. Am häufigsten wird die Termumformung mit Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz in Verbindung gebracht. Aber auch gerne mit den Binomischen Formeln.

Äquivalenzumformung
Die Äquivalenzumformung ist die Veränderung von Linksterm und Rechtsterm einer Gleichung (also das Zeug links vom Istgleich-Zeichen und das rechts davon) mit derselben mathematischen Operation (z. B. plus, minus, mal, durch ... eine Zahl). Dabei verändert sich zwar der Wert auf beiden Seiten der Gleichung, der Wert für das darin enthaltene x jedoch nicht!

2*x = 40
x = 20

2*x = 40
// verdoppeln wir beide Seiten mit *2
4*x = 80
x = 20

x behält den Wert 20, sofern wir auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Operation durchführen.

Man sagt übrigens auch: Die beiden Gleichungen sind zueinander äquivalent, und würde schreiben:



Okay, nachdem du die Videos gesehen und das hier gelesen hast, sollte dir einiges klarer geworden sein ;)



PS: Oft werden in der Mathematik einfach nur Regeln angewendet, ohne verstanden zu haben, warum sie überhaupt funktionieren. Dies gilt übrigens nicht nur für komplexe Sachverhalte, sondern auch für augenscheinlich einfache Dinge. Lasst uns das ändern!

Aufgaben

Teste hier dein Wissen zu den Termen, deren Umformung und zum Umstellen von Gleichungen! Die Berechnungen sind ohne Taschenrechner auszuführen. Viel Spaß dabei!

A. Term oder kein Term?

1. 2
2. 2+5
3. 2*
4. 2*(-1)
5. +3+5
6. --+4
7. 1*(3+4)
8. *(3+4)

---

B. Vereinfache die Terme (forme sie um und schreibe sie soweit möglich kürzer) und benenne die Regel, die du jeweils angewendet hast:

1. 3+3+3+3 =
2. x+x+x+x =
3. 3+4+3+4+3+4 =
4. x+y+x+y+x+y =
5. 3*(5 + x) =
6. (2 + x)*x =
7. (3 + x)*(2 + x) =
8. (a + x)*(b + x) =

---

C. Rechne die Gleichungen aus, d. h. finde den Wert für x!

1. x+x+x = 9
2. 4*x = 48
3. 4*x + 14 = 50
4. x*(-2) + x = 3x + 6
5. 9x - 9 = 81
6. 2*(3x -10) = x + 1
7. 88*x = 15*x
8. x = x
9. (3 + 2*x):4 = (3*x - 2):4
10. (37-x):2 = 12+x

---

D. Wende dein Wissen zum Umstellen von Gleichungen und dem Suchen der Unbekannten x auf die folgenden Bruchterme an. Du solltest vorher die Lektion Brüche vollständig gesehen haben:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Lösungen

A. Lösungen (Term ja/nein)

1. "2" → drückt eine Zahl aus, ist also ein sinnvoller Ausdruck = Term

2. "2+5" → ist Summand + Summand und führt zur Summe, ist also ein sinnvoller Ausdruck = Term

3. "2*" → ist nicht sinnvoll, da das Mal-Zeichen noch eine Zahl erwartet! = kein Term

4. "2*(-1)" ist Faktor (2) * Faktor (-1) und führt zum Produkt, ist also ein sinnvoller Ausdruck = Term

5. "+3+5" → ist Summand + Summand, wobei vor dem 1. Summanden das Vorzeichen + mitgeschrieben wurde. ein sinnvoller Ausdruck = Term. Das erste Plus-Zeichen ist hier nicht also Addition zu verstehen!

6. "--+4" hier stehen 3 Vorzeichen hintereinander, die jedoch mit Klammer getrennt werden müssten, richtig wäre -(-(+4), denn dies ergäbe = 4. Die dargestellten Zeichen sind also nicht sinnvoll und damit kein Term

7. "1*(3+4)" ist Faktor (1) * Faktor (3+4), wobei 3+4 selbst zur Summe wird. Dies ist also ein sinnvoller Ausdruck = Term

8. "*(3+4)" hier fehlt der 1. Faktor vor dem Multiplikationszeichen, die Zeichenfolge ist also nicht sinnvoll, also kein Term

---

B. Lösungen (Terme umformen)

1. 3+3+3+3 = 4*3
# Addition zur Multiplikation gewandelt

2. x+x+x+x = 4*x
# Addition zur Multiplikation gewandelt

3. 3+4+3+4+3+4 = (3+4)+(3+4)+(3+4) = 3*(3+4)
# Addition zur Multiplikation gewandelt (Ausklammern bzw. Distributivgesetz rückwärts)

* Alternativ:
3+4+3+4+3+4 = 3*3 + 3*4
# Addition zur Summe mit zwei Faktoren gewandelt

4. x+y+x+y+x+y = 3*(x+y)
# Addition zur Multiplikation gewandelt (Ausklammern bzw. Distributivgesetz rückwärts)

* Alternativ:
x+y+x+y+x+y = 3*x+3*y
# Addition zur Summe mit zwei Faktoren gewandelt

5. 3*(5 + x) = 3*5 + 3*x
# Distributivgesetz

6. (2 + x)*x = 2*x + x*x = 2x + x²
# Distributivgesetz

7. (3 + x)*(2 + x) = 3*2 + 3*x + x*2 + x*x = 6 + 3*x + 2*x + x² = 6 + 5*x + x²
# Ausmultipliziert, Klammern aufgelöst

8. (a + x)*(b + x) = a*b + a*x + x*b + x*x = a*b + a*x + b*x + x*x = a*b + a*x + b*x + x²
# Ausmultipliziert, Klammern aufgelöst

---

C. Lösungen (Gleichungen ausrechnen)

1. x+x+x = 9
3*x = 9 | :3
3*x:3 = 9:3 | :3
x*3:3 = 3
x*1 = 3
x = 3

2. 4*x = 48
4*x = 48 | :4
4*x:4 = 48:4
x = 12

3. 4*x + 14 = 50
4*x + 14 = 50 | -14
4*x + 14 -14 = 50 -14
4*x = 36 |:4
x = 36:4
x = 9

4. x*(-2) + x = 3x + 6
x*(-2) + x = 3x + 6 | -x
x*(-2) + x -x = 3x -x + 6
x*(-2) = 3x -1x + 6
x*(-2) = 2x + 6
(-2)*x = 2x+ 6
-2x = 2x + 6 |-2x
-2x -2x = 2x -2x + 6
-4x = 6 | :(-4)
x = 6:(-4)
x = -1,5

5. 9x - 9 = 81
9x - 9 = 81 |+9
9x - 9 +9 = 81 +9
9x = 90 |:9
x = 10

6. 2*(3x -10) = x + 1
2*3x - 2*10 = x + 1
6x - 20 = x + 1
6x - 20 = x + 1 |-x
6x -x - 20 = 1
5x - 20 = 1
5x - 20 = 1 |+20
5x = 1 +20
5x = 21 | :5
x = 21:5
x = 4,2

7. 88*x = 15*x
88*x = 15*x | -15*x
88*x - 15*x = 0
73*x = 0 |:73
x = 0

8. x = x
x = x |:x
1 = 1
Beide Seiten der Gleichung sind gleich (Identität). Das heißt, für x gibt es unendlich viele Lösungen! Jede beliebige Zahl kann für x eingesetzt werden. Mit x = x sagen wir ja auch, es ist das gleiche Element links wie rechts.

9. (3 + 2*x):4 = (3*x - 2):4
(3 + 2*x):4 = (3*x - 2):4 |*4
(3 + 2*x):4*4 = (3*x - 2):4*4
(3 + 2*x)*1 = (3*x - 2)*1
(3 + 2*x) = (3*x - 2)
3 + 2*x = 3*x - 2
3 + 2*x = 3*x - 2 | +2
3 +2 + 2*x = 3*x - 2 +2
5 + 2*x = 3*x
5 + 2*x = 3*x |-2*x
5 = 3*x -2*x
5 = 1*x
x = 5

10. (37-x):2 = 12+x
(37-x):2 = 12+x | *2
(37-x):2*2 = (12+x)*2
(37-x)*1 = 12*2 + x*2
37-x = 24 + x*2 |+x
37 = 24 + x*2 +x
37 = 24 + 2x +x
37 = 24 + 3x |-24
37-24 = 3x
13 = 3x |:3
13:3 = x
x ≈ 4,333

---

D. Lösungen (Bruchterme)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Tags: was ist ein Term, Äquivalenzumformung, Formeln umstellen einfach, Äquivalenz, äquivalent, Gleichungen umformen und lösen