Möchte man von einer ausgerechneten Potenz später wieder die Basis wissen, von der sie herrührt, so kann man das Rechnen mit Wurzeln verwenden!
Klingt schwierig?? Ist aber einfach!!
Genaueres gibt es in den folgenden Mathematik-Videos!
Viel Spaß beim Anschauen und Verstehen!
Wurzeln (Teil 1 von 3) - Einführung
Wurzeln (Teil 2 von 3) - Wurzelgesetze
Inhalte: Wurzelgesetze: Division von Wurzeln, Wurzel aus Wurzel (Doppelwurzel), Teilweises Wurzelziehen,Wurzel aus Null, Nullte Wurzel, Rechnen mit negativem Wurzelexponenten, Zusammenfassung
Wurzeln (Teil 3 von 3) - Weiteres
Inhalte: Wurzeln aus negativen Zahlen, n-te Wurzel aus Eins, Widerspruch beim Wurzel-Potenz-Umwandeln, Beispielaufgaben für Anwendung der Wurzel,Plusminus-Wurzel
Lernsoftware
Wissen aus der Lektion
Das meisten Wissen aus dem Video noch mal im Überblick:
Bezeichnungen der Wurzel
Die Wurzel macht die Potenz rückgängig. Ziehen wir die Wurzel aus dem Potenzwert, so erhalten wir die ursprüngliche Basis:
Ist kein Wurzelexponent angegeben, so spricht man von der Quadratwurzel (also 2. Wurzel):
Potenz und Wurzel heben sich gegenseitig auf (das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens).
Wie wir in Teil 3 gesehen haben, kann der (Potenz-)Exponent auch aus der Wurzel herausgezogen werden:
→ Bei Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz geht der Wurzelexponent in den Exponenten der Potenz wie folgt über:
Dies ist immer problemlos möglich, wenn x positiv ist und a eine natürliche Zahl. Ansonsten kann es unter Umständen zu Widersprüchen kommen.
Wenn wir den 'Standardfall' haben, also einfach eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann können wir so umwandeln:
Die Wurzel aus Eins ist stets Eins, da 1 hoch jede beliebige Zahl stets 1 ergibt:
Wurzelgesetze
Wie in den Videos Teil 1 und 2 gesehen, lässt sich die Wurzel bei der Multiplikation auf zwei Faktoren und bei der Division auf Divisor und Dividend übertragen:
Als Bruch geschrieben:
Die Schreibweise Zahl mit Wurzel meint eine Multiplikation zwischen den beiden:
Bei Wurzel aus Wurzel kann man die Wurzelexponenten miteinander multiplizieren (Nachweis über die Potenz, siehe Mathevideo Teil 2)!
Teilweises Wurzelziehen
Beim teilweisen Wurzelziehen (auch 'Vereinfachen von Wurzeln' genannt) zieht man einen Teil aus der Wurzel heraus. So zum Beispiel:
Die Wurzel aus Null ist wieder Null, da Null ins Quadrat Null ergibt:
Die nullte Wurzel aus einem Wert ist nicht definiert:
Nachweis:
Division durch Null nicht möglich, vergleiche hierzu Lektion Teilbarkeit.
Negativer Wurzelexponent
Wie wir im Mathevideo Teil 2 gesehen haben, kann man bei negativem Wurzelexponenten so umformen:
Wenn b=1 ist, wir also keine Potenz unter der Wurzel haben, gilt demnach:
Negativer Radikand
Sofern der Wert unter der Wurzel negativ ist (hier mit -x dargestellt), erhalten wir kein Ergebnis, denn es gibt keinen negativen Wert, der quadriert negativ wird.
Bei einem ungeraden Wurzelexponenten erhalten wir hingegen (trotz eines negativen Wertes unter der Wurzel) ein Ergebnis:
Zum Beispiel:
denn:
Äquivalenzumformungen (Gleichungen umstellen) mit Wurzeln
Wie in Video Teil 3 gezeigt, müsst ihr manchmal plus-minus die Wurzel ziehen, um ein positives und ein negatives Ergebnis zu erhalten. Beispiel:
Es sind zwei Ergebnisse, da gilt: (+2)² = 4 sowie (-2)² = 4
Falls ihr einmal eine Wurzel 'vernichten' sollt, müsst ihr beide Seiten potenzieren, also am Beispiel:
Widerspruch beim Wurzel-Potenz-Umwandeln
Wie wir in Video-Teil 3 sehen konnten, kann man bei der Wurzel-Potenz-Überführung bei negativem Radikand unter Umständen in Konflikt geraten, formt man beispielsweise wie folgt um:
Das Problem entsteht, wenn man den Exponenten (der Bruch Ein-Drittel) erweitert und damit einen anderen Exponenten schafft (3. Wurzel wird zu 6. Wurzel, hoch 1 wird zu hoch 2), wodurch letztlich ein positiver Radikand entsteht. Man sollte einen gebrochenen Exponenten also stets nur verändern, wenn der Radikand positiv ist!
Es gilt jedoch stets, sofern der Radikand x positiv ist und der Wurzelexponent a eine natürliche Zahl: Wurzeln lassen sich in Potenzen überführen. Potenzen lassen sich in Wurzeln überführen.
Bezeichnungen der Wurzel
Die Wurzel macht die Potenz rückgängig. Ziehen wir die Wurzel aus dem Potenzwert, so erhalten wir die ursprüngliche Basis:
Ist kein Wurzelexponent angegeben, so spricht man von der Quadratwurzel (also 2. Wurzel):
Potenz und Wurzel heben sich gegenseitig auf (das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens).
Wie wir in Teil 3 gesehen haben, kann der (Potenz-)Exponent auch aus der Wurzel herausgezogen werden:
→ Bei Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz geht der Wurzelexponent in den Exponenten der Potenz wie folgt über:
Dies ist immer problemlos möglich, wenn x positiv ist und a eine natürliche Zahl. Ansonsten kann es unter Umständen zu Widersprüchen kommen.
Wenn wir den 'Standardfall' haben, also einfach eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann können wir so umwandeln:
Die Wurzel aus Eins ist stets Eins, da 1 hoch jede beliebige Zahl stets 1 ergibt:
Wurzelgesetze
Wie in den Videos Teil 1 und 2 gesehen, lässt sich die Wurzel bei der Multiplikation auf zwei Faktoren und bei der Division auf Divisor und Dividend übertragen:
Als Bruch geschrieben:
Die Schreibweise Zahl mit Wurzel meint eine Multiplikation zwischen den beiden:
Bei Wurzel aus Wurzel kann man die Wurzelexponenten miteinander multiplizieren (Nachweis über die Potenz, siehe Mathevideo Teil 2)!
Teilweises Wurzelziehen
Beim teilweisen Wurzelziehen (auch 'Vereinfachen von Wurzeln' genannt) zieht man einen Teil aus der Wurzel heraus. So zum Beispiel:
Die Wurzel aus Null ist wieder Null, da Null ins Quadrat Null ergibt:
Die nullte Wurzel aus einem Wert ist nicht definiert:
Nachweis:
Division durch Null nicht möglich, vergleiche hierzu Lektion Teilbarkeit.
Negativer Wurzelexponent
Wie wir im Mathevideo Teil 2 gesehen haben, kann man bei negativem Wurzelexponenten so umformen:
Wenn b=1 ist, wir also keine Potenz unter der Wurzel haben, gilt demnach:
Negativer Radikand
Sofern der Wert unter der Wurzel negativ ist (hier mit -x dargestellt), erhalten wir kein Ergebnis, denn es gibt keinen negativen Wert, der quadriert negativ wird.
Bei einem ungeraden Wurzelexponenten erhalten wir hingegen (trotz eines negativen Wertes unter der Wurzel) ein Ergebnis:
Zum Beispiel:
denn:
Äquivalenzumformungen (Gleichungen umstellen) mit Wurzeln
Wie in Video Teil 3 gezeigt, müsst ihr manchmal plus-minus die Wurzel ziehen, um ein positives und ein negatives Ergebnis zu erhalten. Beispiel:
Es sind zwei Ergebnisse, da gilt: (+2)² = 4 sowie (-2)² = 4
Falls ihr einmal eine Wurzel 'vernichten' sollt, müsst ihr beide Seiten potenzieren, also am Beispiel:
Herkunft von 'Wurzel' und Wurzelzeichen
Habt ihr euch bereits die Frage gestellt, woher der Begriff Wurzel und das Wurzelzeichen stammen? Um das zu klären, muss man wissen, dass die Wurzel im Lateinischen Radix hieß. Und richtig, diesen Begriff findet ihr heute auch noch im Wort Radieschen wieder!
Ihr könnt euch also einfach gesagt vorstellen, dass eine Zahl "gewachsen" ist und man möchte zu ihrem Ursprung (ihrer Wurzel) zurück.
Schaut man sich das Englische einmal an, so findet man übrigens das Wort "eradicate", das von radix abstammt und übersetzt wird mit "beseitigen, ausmerzen". Man beseitigt also eine Zahl und findet ihren Ursprung!
→ Das Wurzel-Zeichen ist übrigens aus dem Anfangsbuchstaben von "radix", also dem kleinen "r" hervorgegangen. Sozusagen eine Kurzschreibweise fürs Radizieren (= Wurzelziehen).
Habt ihr euch bereits die Frage gestellt, woher der Begriff Wurzel und das Wurzelzeichen stammen? Um das zu klären, muss man wissen, dass die Wurzel im Lateinischen Radix hieß. Und richtig, diesen Begriff findet ihr heute auch noch im Wort Radieschen wieder!
Ihr könnt euch also einfach gesagt vorstellen, dass eine Zahl "gewachsen" ist und man möchte zu ihrem Ursprung (ihrer Wurzel) zurück.
Schaut man sich das Englische einmal an, so findet man übrigens das Wort "eradicate", das von radix abstammt und übersetzt wird mit "beseitigen, ausmerzen". Man beseitigt also eine Zahl und findet ihren Ursprung!
→ Das Wurzel-Zeichen ist übrigens aus dem Anfangsbuchstaben von "radix", also dem kleinen "r" hervorgegangen. Sozusagen eine Kurzschreibweise fürs Radizieren (= Wurzelziehen).
Widerspruch beim Wurzel-Potenz-Umwandeln
Wie wir in Video-Teil 3 sehen konnten, kann man bei der Wurzel-Potenz-Überführung bei negativem Radikand unter Umständen in Konflikt geraten, formt man beispielsweise wie folgt um:
Das Problem entsteht, wenn man den Exponenten (der Bruch Ein-Drittel) erweitert und damit einen anderen Exponenten schafft (3. Wurzel wird zu 6. Wurzel, hoch 1 wird zu hoch 2), wodurch letztlich ein positiver Radikand entsteht. Man sollte einen gebrochenen Exponenten also stets nur verändern, wenn der Radikand positiv ist!
Es gilt jedoch stets, sofern der Radikand x positiv ist und der Wurzelexponent a eine natürliche Zahl: Wurzeln lassen sich in Potenzen überführen. Potenzen lassen sich in Wurzeln überführen.
Aufgaben zu Wurzeln
[... folgen ...]
Lösungen
[... folgen ...]
★ Nächste Lektion:
G21: Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen
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