Mathe G23: Logarithmus + Logarithmengesetze

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Die Einführung zum Logarithmus erklärt für Schüler und Studenten in Form von Videos. Hinführung zu der Schreibweise des Logarithmus (also Begriffe wie Basis und Numerus) und Erläuterung der Funktionsweise, danach werden alle Logarithmengesetze hergeleitet. Die Potenzgesetze werden hierfür benutzt. Auch könnt ihr die Lernprogramme auf der Webseite zum Lernen benutzen. Am Ende der Lektion schauen wir uns ein paar Anwendungsbeispiele an. In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt: Was ist ein Logarithmus? Wann schreibt man log? Wie rechnet man damit? ...

Vorab gesagt: Es ist nicht so schwer wie ihr denkt!

Die Mathe-Videos bieten euch eine einfache, zügige und verständliche Einführung zum Logarithmus sowie die Herleitung der Logarithmengesetze! Voraussetzung ist, dass ihr das Rechnen mit Potenzen beherrscht.

Teil 1

Teil 2

Teil 3

Logarithmus: Einführung
Was ist der Logarithmus?!
Einführung zum Logarithmus, Schreibweise Logarithmus,
Zusammenhang Logarithmus und Potenz, Begriffe Basis und Numerus,
1. und 2. Logarithmusgesetz (inklusive Herleitung)

Logarithmus:
Logarithmusregeln + Rechnen mit LOG
3., 4. und 5. Logarithmusregel inklusive Herleitung, Logarithmusarten: Dekadischer und natürlicher Logarithmus sowie Logarithmus Dualis, Berechnung von beliebigen Logarithmen mit dem 10er Logarithmus

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Logarithmus:
Anwendung bei Sachaufgaben
Logarithmieren mit dem Taschenrechner, weitere wichtige Regeln, Anwendung des Logarithmus bei
zwei Sachaufgaben* (mit ausführlicher Lösung)

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Aufgabe 1: Der mittlere Abstand zwischen Erde und Mond beträgt ca. 384.400 km. Wie oft muss man die Strecke halbieren, damit sie kleiner als 1 m ist?
Aufgabe 2: Wie lange muss man 2.000 Euro bei einem Zinssatz von 5 % anlegen, um 4.000 Euro auf seinem Sparkonto zu erreichen?

Nachdem ihr die drei Videos gesehen habt, könnt ihr euer Wissen mit den kostenlosen Mathematik-Lernprogrammen auf dieser Seite prüfen!
Viel Spaß dabei :)

Fragen und Antworten

Logarithmus-Aufgabe mit hoch x

★ Übersicht:
Mathematik-Videos Grundlagen

Lernprogramme Logarithmus

Mit dem folgenden Programm könnt ihr euch den Zusammenhang zwischen Logarithmus und Potenz klar machen. Stellt beliebige Werte ein und seht, wie sich der Logarithmus und die Potenz ergeben!

Dass wir einen Logarithmuswert auch über zwei andere Logarithmen (mit anderer Basis) berechnen können, haben wir in den Videos gesehen. Mit dem folgenden Programm könnt ihr dies für beliebige Werte selbst testen!

Wissen zur Lektion

Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen Potenz und Logarithmus. Der Logarithmus gibt uns stets den Exponenten der Potenz an!


# Merke: Der Logarithmus berechnet den Exponenten der Potenz.


Nachfolgend alle Logarithmusregeln aus den Videos in Übersicht:











Wichtig zur Berechnung von Logarithmen: Jeder Logarithmus kann über einen anderen Logarithmus (andere Basis) ermittelt werden:


Hierzu findet ihr auf dem Taschenrechner die Tasten "LOG" (der log_10) oder "LN" (der log_e), wie in den Mathevideos Teil 2 und 3 dargestellt.


Außerdem solltet ihr euch diese Zusammenhänge merken:

Der Logarithmus ist null, wenn der Numerus eins ist:


Der Logarithmus ist eins, wenn die Basis gleich dem Numerus ist:



Wahrscheinlich werdet ihr auch oft auf die Abkürzungen der Logarithmen treffen (im Zusammenhang mit der Basis). Die Kurzschreibweisen lauten:

Dekadischer Logarithmus


Logarithmus Naturalis

e ist die Eulersche Zahl (e = 2,718281828...)

Logarithmus Dualis



Als letztes könnt ihr euch noch merken, dass der Logarithmus nicht definiert ist, wenn der Numerus den Wert Null hat, da keine Potenz zum Wert Null führt (ohne Berücksichtigung von Null hoch Null):

Historisches zum Logarithmus

Der Logarithmus feiert im Jahr 2014 seinen 400. Geburtstag. Als Begründer gilt der schottische Gelehrte John Napier (1550-1617), der im Jahre 1614 das Buch "Mirifici logarithmorum canonis constructio" zusammen mit Henry Briggs (1561 - 1630) veröffentlichte. Danach verbreiteten sich Logarithmen schnell unter Mathematikern und wurden bald zu einem wichtigen Hilfsmittel in unseren Wissenschaften.

Da es nicht mehr schwierig war, unbekannte Exponenten zu ermitteln, soll Laplace 200 Jahre nach Napier gesagt haben: "... durch die Reduzierung der Arbeit haben [Logarithmen] das Leben jedes Astronomen verdoppelt."

Anwendung des Logarithmus

Logarithmen könnt ihr bereits im Alltag entdecken, sie sind vor euren Augen: Der pH-Wert und die Dezibel-Skala! Oder benutzt sie einfach, wenn es um eure Finanzplanung geht, wie im Video Teil 3 beim Zinseszins gezeigt.

Grundsätzlich werden Logarithmen dort verwendet, wo die Werte enorme Größen annehmen. Warum? Ganz einfach: Wenn ihr 10 hoch x in einem Koordinatensystem einzeichnet, stoßt ihr bei der y-Achse bald auf eure Grenzen. Mit jedem +1 auf der x-Achse (für den Exponenten) erhöht sich der Wert enorm! 10 hoch 2 = 100, doch 10 hoch 6 = 100.000 ! Daher verwendet man eine logarithmische Darstellung. Anstatt 10 hoch x nutzt man also log x. Dadurch kann man bequem (wie im Beispiel) nur die 2 und die 6 auf der y-Achse abtragen :)

Ihr könnt euch zusätzlich merken, dass unsere Wahrnehmung nicht "linear" funktioniert, vielmehr "logarithmisch". Wie beim Dezibel (Einheit für die Lautstärke): Ein Ton wird von uns nicht doppelt so laut wahrgenommen, wenn er verdoppelt wird. Nein, man muss ihn um ein Vielfaches erhöhen! Gleiches gilt übrigens auch fürs Licht. Verdoppeltes Licht (also zwei Lichtquellen) erzeugen für unsere Wahrnehmung kein doppelt so helles Licht!

Puh, das war eine Menge neues Wissen! Wir hoffen, ihr habt es verstanden :)

Aufgaben

[demnächst]

Tags: log, Logarithmen herleiten, Logarithmusgesetze, Logarithmengesetze, Logarithmieren, Herleitung aus den Potenzen