Mathe G23: Logarithmus

Die Einführung zum Logarithmus erklärt für Schüler und Studenten in Form von Videos. Hinführung zu der Schreibweise des Logarithmus (also Begriffe wie Basis und Numerus) und Erläuterung der Funktionsweise, danach werden alle Logarithmengesetze hergeleitet. Die Potenzgesetze werden hierfür benutzt. Auch kann man die Software auf der Webseite zum Lernen benutzen. Am Ende der Lektion schauen wir uns ein paar Anwendungsbeispiele an. Du möchtest den Logarithmus verstehen, aber er scheint dir noch zu kompliziert? Dann bist du hier richtig, denn es wird einfach!
Viele wissen zwar, wie man einen Logarithmus in den Taschenrechner eingeben muss, jedoch nicht, was eigentlich dahinter steckt!

Die folgenden Videos bieten eine Einführung zum Logarithmus und die Herleitung der wichtigen Logarithmengesetze! Voraussetzung fürs Verstehen ist, dass du das Rechnen mit Potenzen beherrschst.

Weiter unten gibt es wieder ein Programm zum Ausprobieren!
Also viel Spaß dabei :)

Logarithmus - Teil 1 von 3

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Logarithmus - Teil 2 von 3

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Logarithmus - Teil 3 von 3

Inhalte: Logarithmieren mit dem Taschenrechner, Anwendung des Logarithmus bei zwei Sachaufgaben

Aufgabe 1: Der mittlere Abstand zwischen Erde und Mond beträgt ca. 384.400 km. Wie oft muss man die Strecke halbieren, damit sie kleiner als 1 m ist?

Aufgabe 2: Wie lange muss man 2.000 Euro bei einem Zinssatz von 5 % anlegen, um 4.000 Euro auf seinem Sparkonto zu erreichen?

Lernsoftware

Nachfolgend die Logarithmusregeln aus dem Video als Übersicht:












Außerdem solltet ihr euch merken:






Wahrscheinlich werdet ihr auch oft auf die Abkürzungen der Logarithmen treffen (im Zusammenhang mit der Basis). Sie lauten:

Logarithmus Dualis


Dekadischer Logarithmus


Logarithmus Naturalis


e ist die Eulersche Zahl
e = 2,718281828...


Historisches
Der Logarithmus feiert in fünf Jahren seinen 400. Geburtstag. Als Begründer gilt der schottische Gelehrte John Napier (1550-1617), der im Jahre 1614 das Buch "Mirifici logarithmorum canonis constructio" zusammen mit Henry Briggs (1561 - 1630) veröffentlichte. Danach verbreiteten sich Logarithmen schnell unter Mathematikern und wurden bald zu einem wichtigen Hilfsmittel in unseren Wissenschaften.

Da es nicht mehr schwierig war, unbekannte Exponenten zu ermitteln, soll Laplace 200 Jahre nach Napier gesagt haben: "... durch die Reduzierung der Arbeit haben [Logarithmen] das Leben jedes Astronomen verdoppelt."


Anwendung des Logarithmus
Logarithmen könnt ihr bereits im Alltag entdecken, sie sind vor euren Augen: Der pH-Wert und die Dezibel-Skala! Oder benutzt sie einfach, wenn es um eure Finanz-Planung geht, wie im Video Teil 3 beim Zinseszins gezeigt.

Grundsätzlich werden Logarithmen dort verwendet, wo die Werte enorme Größen annehmen. Warum? Ganz einfach: Wenn ihr 10 hoch x in einem Koordinatensystem einzeichnet, stoßt ihr bei der y-Achse bald auf eure Grenzen. Mit jedem +1 auf der x-Achse erhöht sich der Wert enorm! 10 hoch 2 = 100, doch 10 hoch 6 = 100.000 ! Daher verwendet man eine logarithmische Darstellung. Anstatt 10 hoch x nutzt man also log x. Dadurch kann man bequem (wie im Beispiel) nur die 2 und die 6 auf der y-Achse abtragen :)
Hierzu mache ich zukünftig wahrscheinlich noch ein Video...

Ihr könnt euch zusätzlich merken, dass unsere Wahrnehmung nicht "linear" funktioniert, vielmehr "logarithmisch". Wie beim Dezibel (Einheit für die Lautstärke): Ein Ton wird von uns nicht doppelt so laut wahrgenommen, wenn er verdoppelt wird. Nein, man muss ihn um ein Vielfaches erhöhen! Gleiches gilt übrigens auch fürs Licht. Verdoppeltes Licht (also zwei Lichtquellen) erzeugen für unsere Wahrnehmung kein doppelt so helles Licht!

Puh, das war ne Menge Info! Ich hoffe ihr habt's verstanden :)


Tags: log, Logarithmen herleiten, Logarithmusgesetze, Logarithmengesetze, Logarithmieren, Herleitung aus den Potenzen