Eine Abkürzung, auf die man oft im Mathematik-Unterricht stößt, ist "LGS". LGS steht für Lineares GleichungsSystem. Damit ist allgemein das Lösen von linearen Gleichungen gemeint, die in Verbindung gebracht werden und dadurch konkret nur eine Lösung für x und y haben (oder auch keine oder unendlich viele Lösungen, siehe Teil 5).
Unsere Lektion ist diesmal recht umfassend! Teil 1 zeigt euch in Kürze wie man ein Lineares Gleichungssystem löst, das aus zwei Gleichungen besteht. Wir schauen uns dazu drei Verfahren an:
Gleichsetzungsverfahren | Einsetzungsverfahren | Additionsverfahren
In den Videos 2 bis 5 wird das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Funktionen veranschaulicht. Hier ist es notwendig, dass ihr die Lektion Schnittpunkt von zwei linearen Graphen gesehen und verstanden habt.
Video 6 beinhaltet schließlich noch eine umfassende Textaufgabe!
Also gut, auf geht's & viel Spaß dabei.
Lineare Gleichungssysteme (Teil 1 von 6)
Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren und Additionsverfahren in Kürze erklärtLineare Gleichungssysteme (Teil 2 von 6)
Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren im Detail, Schnittpunktvon Graphen, Lineare Gleichungen mit Funktionen dargestellt
Lineare Gleichungssysteme (Teil 3 von 6)
Additionsverfahren mithilfe von Summenfunktion und Differenzfunktion erklärtLineare Gleichungssysteme (Teil 4 von 6)
Additionsverfahren im Detail, Lösen mit dem Additionsverfahren inklusive vorheriger Umformung der linearen Gleichungen (Äquivalenzumformung)Lineare Gleichungssysteme (Teil 5 von 6)
Additionsverfahren als Subtraktionsverfahren (Betrachtung als Differenzfunktion), mögliche Lösungen für lineare Gleichungssysteme (Lösungsmenge/Lösungspaar)Lineare Gleichungssysteme (Teil 6 von 6) - Sachaufgabe
Anwendung des linearen Gleichungssystems bei der "Stausee"-Sachaufgabe,
Lösung mit dem Subtraktionsverfahren (Additionsverfahren)
Aufgabe: Es gibt einen Stausee mit 5 Turbinen. Wenn 3 der 5 gleichstarken Turbinen in Betrieb sind, so nimmt der Inhalt des Stausees pro Stunde um 30.000 m³ Wasser zu. Wenn 5 Turbinen an sind, so verringert sich der Wasservorrat um 50.000 m³ pro Stunde.
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Anwendung des linearen Gleichungssystems bei der "Stausee"-Sachaufgabe,
Lösung mit dem Subtraktionsverfahren (Additionsverfahren)
Aufgabe: Es gibt einen Stausee mit 5 Turbinen. Wenn 3 der 5 gleichstarken Turbinen in Betrieb sind, so nimmt der Inhalt des Stausees pro Stunde um 30.000 m³ Wasser zu. Wenn 5 Turbinen an sind, so verringert sich der Wasservorrat um 50.000 m³ pro Stunde.
Merken aus den Videos:
Oberstes Ziel beim Lösen von LGS ist stets: Beseitige eine der beiden Unbekannten.Nutze dazu eines der Verfahren:
1. Gleichsetzungsverfahren
Beide Gleichungen sind so umzustellen, dass y jeweils auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht:
Anschließend darf man die y gleichsetzen und die beiden Terme (...) jeweils für y einsetzen:
Die entstehende Gleichung enthält dann nur noch die Unbekannten x und lässt sich, wie wir bereits gelernt haben, lösen!
I. y = (...)
II. y = (...)
II. y = (...)
Anschließend darf man die y gleichsetzen und die beiden Terme (...) jeweils für y einsetzen:
y = y
(...) = (...)
(...) = (...)
Die entstehende Gleichung enthält dann nur noch die Unbekannten x und lässt sich, wie wir bereits gelernt haben, lösen!
2. Einsetzungsverfahren
Es ähnelt dem Gleichsetzungsverfahren, man stellt jedoch nur eine Gleichung nach y um (die zweite Gleichung lässt man unverändert):
Dann darf man den Term der Gleichung I, also y = (...) in die II. Gleichung einsetzen. Man ersetzt also y von Gleichung II mit y = (...) von Gleichung I.
Schließlich enthält die neu entstehende Gleichung keine y mehr, sondern nur noch Unbekannte x und lässt sich lösen!
* Anstatt nach y kann man stets auch nach x umstellen. Das funktioniert entsprechend. Im letzten Schritt bleiben dann nur Terme mit y übrig.
I. y = (...)
II. y + (...) = (...)
II. y + (...) = (...)
Dann darf man den Term der Gleichung I, also y = (...) in die II. Gleichung einsetzen. Man ersetzt also y von Gleichung II mit y = (...) von Gleichung I.
II. y + (...) = (...)
II'. (...) + (...) = (...)
II'. (...) + (...) = (...)
Schließlich enthält die neu entstehende Gleichung keine y mehr, sondern nur noch Unbekannte x und lässt sich lösen!
* Anstatt nach y kann man stets auch nach x umstellen. Das funktioniert entsprechend. Im letzten Schritt bleiben dann nur Terme mit y übrig.
3. Additionsverfahren
(auch Subtraktionsverfahren genannt)Hier addiert man beide Gleichungen miteinander und beseitigt dadurch eine der beiden Variablen x oder y. Wenn sich durch die Addition keine Variable zu Null wegaddieren sollte, so muss man die Gleichung vorher umformen (mit einer entsprechenden Multiplikation ihrer Elemente).
Wer sich fragt, weshalb man die Gleichungen untereinander zusammenaddieren darf, soll sich einmal das LGS ohne Unbekannte vorstellen, zum Beispiel:
Wer sich fragt, weshalb man die Gleichungen untereinander zusammenaddieren darf, soll sich einmal das LGS ohne Unbekannte vorstellen, zum Beispiel:
Mögliche Lösungen für Lineare Gleichungssysteme
A: Genau eine Lösung
Für x und für y erhalten wir jeweils einen konkreten Wert. Das Lineare Gleichungssystem hat ein eindeutiges Lösungspaar.
L = { (x|y) } Beispiel: L = { (15|25) }
Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
L = { (x|y) } Beispiel: L = { (15|25) }
Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
B: Keine Lösung
Das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung. Für x und y erhalten wir beim rechnerischen Lösen keinen konkreten Wert, sondern eine falsche Aussage wie zum Beispiel: 3 = 4
L = { } keine Lösung → leere Menge
Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen sind parallel zueinander und haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
L = { } keine Lösung → leere Menge
Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen sind parallel zueinander und haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
C: Unendlich viele Lösungen
Das Lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ihr setzt also bei beiden Gleichungen einen beliebigen Wert für x ein und erhaltet dann stets bei beiden Gleichungen den selben Wert für y! Beim rechnerischen Lösen der Gleichungen werdet ihr auf eine sogenannte Identität stoßen, zum Beispiel: 2 = 2
Für die Lösungsmenge (die Menge aller möglichen Lösungen) schreibt man dann: L = { (x|y) | Gleichung } Beispiel: L = { (x|y) | y=x+10 }
Der Mathematiker würde sagen: Zur Lösungsmenge gehören alle x und y, die "die Gleichung y=x+10 erfüllen". Das heißt, alle x und y gehören zur Lösung, wenn man sie in die Gleichung y=x+10 einsetzen kann... na klar, das klappt mit allen Zahlen!
Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen liegen aufeinander und haben dadurch unendlich viele gemeinsame Schnittpunkte.
Für die Lösungsmenge (die Menge aller möglichen Lösungen) schreibt man dann: L = { (x|y) | Gleichung } Beispiel: L = { (x|y) | y=x+10 }
Der Mathematiker würde sagen: Zur Lösungsmenge gehören alle x und y, die "die Gleichung y=x+10 erfüllen". Das heißt, alle x und y gehören zur Lösung, wenn man sie in die Gleichung y=x+10 einsetzen kann... na klar, das klappt mit allen Zahlen!
Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen liegen aufeinander und haben dadurch unendlich viele gemeinsame Schnittpunkte.
Und richtig, die Zusammenhänge mit den Funktionen/Schnittpunkten hatten wir schon in der Lektion #F04: Schnittpunkt von zwei linearen Graphen behandelt. Die linearen Gleichungssysteme sind eine entsprechende Anwendung dieses Wissens!!
Hinweis: LGS lassen sich auch über andere Wege lösen, so zum Beispiel mithilfe der Cramerschen Regel oder dem Gauß-Verfahren. Für die Einführung ins Thema sind diese Verfahren jedoch nicht so gut geeignet und werden daher erst später vorgestellt ;)
Übungsaufgabe
→ Ein Hotel hat insgesamt 20 Zimmer mit 64 Betten. Je Zimmer gibt es entweder 2 oder 4 Betten. Wie viele 2- und wie viele 4-Bettzimmer gibt es?
Lösung
Das aufgestellte LGS:
I: x + y = 20 // Anzahl Zimmer
II: 2x + 4y = 64 // Anzahl Betten
Nach dem Ausrechnen mit einem der Verfahren erhält man:
x = 8
y = 12
Probe:
12 Zimmer à 4 Betten = 48 Betten
8 Zimmer à 2 Betten = 16 Betten
48 + 16 = 64 Betten
I: x + y = 20 // Anzahl Zimmer
II: 2x + 4y = 64 // Anzahl Betten
Nach dem Ausrechnen mit einem der Verfahren erhält man:
x = 8
y = 12
Probe:
12 Zimmer à 4 Betten = 48 Betten
8 Zimmer à 2 Betten = 16 Betten
48 + 16 = 64 Betten
★ Nächste Lektion:
#F06: Quadratische Funktionen
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