DVD Mathematik Grundlagen

I. Grundrechenarten

Addition (Summand + Summand = Summe), Subtraktion (Minuend - Subtrahend = Differenz), Multiplikation (Faktor * Faktor = Produkt) und Division (Dividend : Divisor = Quotient). Zahlen zerlegen, Multiplikationstabelle.

II. Kommutativgesetz und Assoziativgesetz

Wir betrachten uns zwei wichtige Rechenregeln: Das Kommutativgesetz mit a + b = b + a sowie das Assoziativgesetz: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c). Beides gilt auch für die Multiplikation.

III. Distributivgesetz

Wir schauen uns eine wichtige Rechenregel namens Distributivgesetz an: a * (b + c) = a * b + a * c oder erweitert: a * (b + c + d) = a * b + a * c + a*d

IV. Römische Zahlen

Woher stammen die Römischen Zahlzeichen. Wie werden die Zahlen als Additionssystem dargestellt. Was ist bei der Subtraktionsregel und der Reihenfolge der Zahlzeichen zu beachten.

V. Natürliche und Ganze Zahlen

Wir schauen uns die grundlenden Zahlenmengen an: Die Natürliche Zahlen (0, 1, 2, 3, ...) und die Ganzen Zahlen (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) sowie das Zeichen für Unendlich.

• Addition und Subtraktion

Einführung zum Rechnen mit Vorzeichen, Addition und Subtraktion positiver und negativer Zahlen, Herleitung der Rechenregeln.

• Multiplikation und Division, Beispiele

Erläuterung der Rechenregeln zur Multiplikation und Division mit positiven und negativen Zahlen, mehrere Beispielaufgaben zum sicheren Rechnen.

• Voraussetzungen

(Erweitertes) Distributivgesetz, Berechnung der Fläche von Rechteck und Quadrat, Zahl ins Quadrat (a*a = a²), 2*ab = ab + ab, Zerlegen einer Strecke in Teilstrecken.

• Erste Binomische Formel

Herleitung der 1. Binomischen Formel, Grafischer Nachweis der 1. Binomischen Formel über Flächen.

• Zweite Binomische Formel

Herleitung der 2. Binomischen Formel, Grafischer Nachweis, Anwendung bei der Aufgabe (3xy-5)²

• Dritte Binomische Formel

Herleitung der 3. Binomischen Formel, Faktorisieren, Schnelleres Kopfrechnen mit Binomischen Formeln.

• Einführung, Erweitern + Kürzen

Eine einfache Einführung: Zähler und Nenner, Erweitern und Kürzen von Brüchen, Zusammenhang zwischen Division und Bruch.

• Addition + Subtraktion

Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichen und verschiedenen Nennern, Brüche gleichnamig machen (gemeinsamen Nenner bilden).

• Multiplikation

Multiplikation von Zahl * Bruch und Bruch * Bruch, Umwandlung einer Zahl in einen Bruch, Herleitung der Multiplikationsregeln für Brüche, Veranschaulichung der einzelnen Rechenschritte.

• Division

Division von Brüchen inklusive Herleitung der Regeln, Kehrwert/Reziproke, Doppelbruch, Zusammenfassung Bruchrechenregeln. Am Videobeginn: Rechentrick Diagonalkürzen bei Multiplikation.

• Brucharten + Gemischte Zahlen

Stammbruch, echter und unechter Bruch, Scheinbruch, Dezimalbruch, Rechnen mit Gemischten Zahlen, Umwandlung Bruch - Gemischte Zahl, Zahlenmenge: Rationale Zahlen, Vorzeichen bei Zähler und Nenner.

• Einführung und Regeln

Einführung zum Rechnen mit Kommazahlen, Bestandteile der Kommazahl, Regeln für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Kommazahlen.

• Rechenregeln + Dezimalbrüche

Additionsregel und Multiplikationsregel erläutert, Dezimalbrüche, Umwandlung zwischen Kommazahl und Bruch, Kommazahlen als Brüche rechnen.

X. Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Primzahlen (Natürliche Zahlen, die nur Teiler 1 und sich selbst haben) und die Primfaktorzerlegung (Darstellung einer Zahl als Multiplikation von Primzahlen). Methode zum Finden von Primzahlen.

• Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Was ist der größte gemeinsamer Teiler zweier Zahlen, Bedeutung und Anwendung.

• Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache, ausführliche Erklärung und Anwendung bei den Brüchen.

• Einführung Terme und Gleichungen

Einführung: Was ist ein Term, Umformen von Termen, Gleichungen umstellen (Äquivalenzumformung).

• Beispielaufgaben + Lösungsmöglichkeiten

Äquivalenzumformung, Hinführung zur Unbekannten, Lösung von 2 Beispielaufgaben mittels Aufstellen von Gleichungen, Lösungsmöglichkeiten für x (ein, kein, unendlich viele Ergebnisse).

• Ungleichungen

Wie lassen sich Ungleichungen lösen. Welche Zeichen und Regeln benötigen wir. Umstellen von Ungleichungen und umformen von Termen. Größer und kleiner, größergleich und kleinergleich.

I. Proportionalität und Dreisatz

Bedeutung der Proportionalität: Steigt ein Wert so steigt auch ein anderer, sinkt ein Wert so sinkt auch ein anderer. Dreisatz: Unbekannten Wert aus 3 gegebenen Werten ermitteln. Beispielaufgaben.

II. Antiproportionalität

Antiproportional bzw. indirekt proportional: Erhöht sich ein Wert so verringert sich ein anderer, verringert sich ein Wert, so erhöht sich ein anderer. Lösung über Antiproportionalitätsfaktor und Dreisatz.

• Einführung Prozentzeichen

Prozent, Prozentzeichen und Anteile, Zusammenhang zwischen Bruch, Prozent und Zahl.

• Grundwert + Prozentwert

Über den Dreisatz zu den Formeln für Grundwert (Gesamtmenge) und Prozentwert (Anteil).

• Prozentsatz

Herleitung der Formel für den Prozentsatz, Aufgaben und Lösungen zur Prozentrechnung, Rechentricks für schnelleres Prozentrechnen.

• Häufige Fehlerquellen

Häufige Fehlerquellen, Prozentsätze über 100 %, bequeme Prozentsätze, Lehrbücher mit Formeln *100, Rechnen mit Promille.

• Einführung Kapital, Zinsen, Zinssatz

Kapital, Zinsen und Zinssatz inklusive Beispielaufgaben.

• Kapital ermitteln

Beispielaufgabe: Kapital errechnen aus Zinsen und Zinssatz.

• Zeitgenaue Zinsrechnung

Wie berechnet man tag- und monatsgenaue Zinsen, Zins-Formeln, Beispielaufgaben, Zeitraum der Geldanlage aus gegebenen Werten ermitteln, Zählweise für Tage.

• Einführung

Einführung zur Potenz und Herleitung der grundlegenden Potenzgesetze.

• Potenzgesetze

Potenzregel bei Division mit unterschiedlicher Basis, Herleitung der Regel: x hoch 0 = 1, Rechenregeln bei x hoch negativem Exponenten, positives bzw. negatives Ergebnis bei geradem oder ungeradem Exponenten, Beispielaufgabe.

• Einführung

Verzinsung von Kapital und Zinsen über mehrere Jahre, Anwendung der Zinseszinsformel zur direkten Berechnung des Endkapitals aus Startkapital, Zinssatz und Anzahl an Jahren.

• Zinseszinsformel

Ausführliche Herleitung der Zinseszinsformel unter Nutzung der Prozent- und Potenzgesetze, Anwendung bei Beispielaufgabe (mit Lösungsweg).

• Einführung

Wurzel als Umkehrung der Potenz. Begriffe: Wurzelexponent, Radikand und Wurzelwert, Wurzelziehen (Radizieren), Ursprung des Wurzelzeichens, Quadratwurzel, Umwandlung einer Wurzel zu einer Potenz, Wurzelgesetz für Multiplikation.

• Wurzelgesetze

Division von Wurzeln, Wurzel aus Wurzel (Doppelwurzel), Teilweises Wurzelziehen, Wurzel aus Null, Nullte Wurzel, Rechnen mit negativem Wurzelexponenten, Zusammenfassung.

• Vertieftes Wissen

Wurzeln aus negativen Zahlen, n-te Wurzel aus Eins, Widerspruch beim Wurzel-Potenz-Umwandeln, Beispielaufgaben für Anwendung der Wurzel, Plusminus-Wurzel.

VIII. Irrationale Zahlen + Reelle Zahlen

Was sind Irrationale Zahlen (nicht als Bruch a/b darstellbar). Wiederholung der bekannten Zahlenmengen. Nachweis, dass Wurzel aus Zwei nicht als Bruch darstellbar ist. Hinleitung zu den Irrationalen Zahlen und Reelle Zahlen.

• Division durch 0, 1, 2, 3, 4

Wieso ist die Division durch Null nicht definiert. Was ist eine Quersumme und wozu braucht man sie. Herleitung der Teilbarkeitsregeln von Eins bis Vier.

• Division durch 5 bis 10

Teilbarkeitsregeln für Fünf, Sechs, Sieben, Acht, Neun, Zehn, Anwendung bei den Brüchen, Zusammenfassung aller Teilbarkeitsregeln.

• Einfache Einführung

Was ist der Logarithmus. Einführung zum Logarithmus, Schreibweise Logarithmus, Zusammenhang Logarithmus und Potenz, Begriffe Basis und Numerus, 1. und 2. Logarithmusgesetz (inklusive Herleitung).

• Logarithmusregeln

3., 4. und 5. Logarithmusregel inklusive Herleitung, Logarithmusarten: Dekadischer und natürlicher Logarithmus sowie Logarithmus Dualis, Berechnung von beliebigen Logarithmen mit dem 10er Logarithmus.

• Anwendung bei Sachaufgaben

Logarithmieren mit dem Taschenrechner, weitere wichtige Regeln, Anwendung des Logarithmus bei zwei Sachaufgaben (mit ausführlicher Lösung).