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Heute schauen wir uns an, wie die Binomischen Formeln entstehen. Dazu verwenden wir insbesondere das Distributivgesetz! Auf dieser Seite findet ihr auch die Mathe-Programm zu den Binomischen Formeln, die wir im Video benutzen.
Teil 1
Teil 2
Teil 3
Teil 4
Binomische Formeln: Voraussetzungen
(Erweitertes) Distributivgesetz, Berechnung der Fläche von
Rechteck und Quadrat, Zahl ins Quadrat (a*a = a²), 2*ab = ab + ab, Zerlegen einer Strecke in Teilstrecken
(Erweitertes) Distributivgesetz, Berechnung der Fläche von
Rechteck und Quadrat, Zahl ins Quadrat (a*a = a²), 2*ab = ab + ab, Zerlegen einer Strecke in Teilstrecken
Erste Binomische Formel
Herleitung der Ersten Binomischen Formel, Grafischer Nachweis der Binomischen Formel über Flächen
Herleitung der Ersten Binomischen Formel, Grafischer Nachweis der Binomischen Formel über Flächen
Zweite Binomische Formel
Herleitung der 2. Binomischen Formel, grafischer Nachweis,
Anwendung bei der Aufgabe (3xy-5)²
Herleitung der 2. Binomischen Formel, grafischer Nachweis,
Anwendung bei der Aufgabe (3xy-5)²
Dritte Binomische Formel + Faktorisieren
Herleitung 3. Binomische Formel, Faktorisieren,
Schnelleres Kopfrechnen mit Binomischen Formeln
Herleitung 3. Binomische Formel, Faktorisieren,
Schnelleres Kopfrechnen mit Binomischen Formeln
Fragen und Antworten zu den Binomischen Formeln
Lernprogramme Binomische Formeln
Binomische Formel (1)
Die 1. Binomische Formel wird hier grafisch veranschaulicht. Die Fläche (a+b)² entspricht der Fläche a²+2*ab+b².
Binomische Formel (2)
Die 2. Binomische Formel grafisch in Form von Flächen dargestellt. (a-b)² = a² - 2*a*b + b². Bitte lest euch die Einleitung durch.
Binomische Formel (3)
Die 3. Binomische Formel (a+b)*(a-b) = a² - b² kann mit diesem Programm entdeckt werden. Bitte die Einleitung durchlesen.
Weitere Lernprogramme auf DVD! oder im Abonnement.
Wissen zur Lektion
binom = bi (zwei) und nomen (Teil, Name)
1. Binomische Formel
2. Binomische Formel
3. Binomische Formel
Schriftliches Rechnen vereinfachen
Binomische Formeln lassen sich auch dazu benutzen, das schriftliche Rechnen zu vereinfachen. Beispiele:
408² = (400 + 8)²
= 400² + 2*400*8 + 8²
= 160.000 + 6.400 + 64
= 166.464
198*202 = (200-2)*(200+2)
= 200² - 2²
= 40.000 - 4
= 39.996
44² - 26² = (44+26)*(44-26)
= 70*18
= 1.260
Faktorisieren mit Binomischen Formeln
Faktorisieren kommt von "Faktor", den wir bereits bei der Multiplikation kennengelernt hatten. Bei den binomischen Formeln haben wir zwei Faktoren (richtig, das sind die Klammern):
(a + b)² = (a + b) * (a + b)
Produkt = Faktor1 * Faktor2
Wenn wir nun eine ausgerechnete binomische Gleichung vorzuliegen haben und der Lehrer sagt, faktorisiere wieder, dann müsst ihr die Gleichung wieder in die Klammerform bringen. Beispiel:
= x² + 6x + 9
allgemein:
= a² + 2ab + b²
Jetzt sieht man beim direkten Gegenüberstellen:
x² = a² 6x = 2ab 9 = b²
Und kann sich ausrechnen (Wurzel ziehen):
a = x und b = 3
Dann beim Allgemeinen einsetzen und konkrete Werte erhalten:
= a² + 2*a*b + b² → (a + b)²
= x² + 2*x*3 + 3² → (x + 3)²
Probe:
(x + 3)² = (x + 3)*(x + 3) = x*x + 3x + 3x + 3*3 = x² + 6x + 9
Das Faktorisieren wenden wir zum Beispiel bei den Quadratischen Funktionen, speziell bei der Quadratischen Ergänzung an.
Aufgaben
A. Multipliziere erst die Klammern aus, berechne dann das Ergebnis!
1. (1 + 4)*(2 + 2) =
2. (-2 + 8)*(3 + 4) =
3. (-2 + 2 - 3)*(5 - 10) =
4. (9 - 9)*(9 + 9) =
5. (8 + 8)*(8 - 8 - 8) =
B. Löse die folgenden Aufgaben nur mit Hilfe der Binomischen Formeln, danach erst zusammenrechnen!
1. (4 + 3)² =
2. (-4 + 5)² =
3. (10 + 9)² =
4. (5 - 12)² =
5. (6 - 8)² =
6. (12 + 2)*(12 - 2) =
7. (200 - 4)*(200 + 4) =
8. (100 - 10)*(100 + 10)*(100 + 10) =
C. Nehmen wir als nächstes anstatt Zahlen ein paar Variablen (also Platzhalter, in die wir beliebige Zahlen einsetzen können). Berechnet diese Aufgaben mit den Binomischen Formeln so weit wie möglich:
Beispiellösung:
(x - 8)² = x² - 2*x*8 - 8² = x² - 16*x - 64
(a - b)² = a² - 2*a*b - b²
siehe auch Video Teil 3!
1. (x + 7)² =
2. (10 - x)² =
3. (4*x - y)² =
4. (x + 10*y)² =
5. (2 - a*b)² =
6. (2*x + a*b)² =
7. (a*2 - a*b)² =
8. (x + 3)*(x - 3) =
9. (x + y)*(x - y) =
10. (2*a + 3*b)*(2*a - 3*b) =
D. Faktorisiere (das heißt, Du musst die ursprüngliche Form der Binomischen Formel wieder herstellen):
Beispiellösung:
x² + 6x + 9 = x² + 2*3*x + 3² = x² + 2*x*3 + 3² = (x + 3)²
a² + 2ab + b² = (a + b)²
siehe auch Video Teil 4!
1. 25 - 40 + 16 =
2. x² + 6*x*y + 9*y² =
3. 100 - 20*x + x² =
4. 400 - 100*x² =
5. x² - 18*x + 81 =
1. (1 + 4)*(2 + 2) =
2. (-2 + 8)*(3 + 4) =
3. (-2 + 2 - 3)*(5 - 10) =
4. (9 - 9)*(9 + 9) =
5. (8 + 8)*(8 - 8 - 8) =
B. Löse die folgenden Aufgaben nur mit Hilfe der Binomischen Formeln, danach erst zusammenrechnen!
1. (4 + 3)² =
2. (-4 + 5)² =
3. (10 + 9)² =
4. (5 - 12)² =
5. (6 - 8)² =
6. (12 + 2)*(12 - 2) =
7. (200 - 4)*(200 + 4) =
8. (100 - 10)*(100 + 10)*(100 + 10) =
C. Nehmen wir als nächstes anstatt Zahlen ein paar Variablen (also Platzhalter, in die wir beliebige Zahlen einsetzen können). Berechnet diese Aufgaben mit den Binomischen Formeln so weit wie möglich:
Beispiellösung:
(x - 8)² = x² - 2*x*8 - 8² = x² - 16*x - 64
(a - b)² = a² - 2*a*b - b²
siehe auch Video Teil 3!
1. (x + 7)² =
2. (10 - x)² =
3. (4*x - y)² =
4. (x + 10*y)² =
5. (2 - a*b)² =
6. (2*x + a*b)² =
7. (a*2 - a*b)² =
8. (x + 3)*(x - 3) =
9. (x + y)*(x - y) =
10. (2*a + 3*b)*(2*a - 3*b) =
D. Faktorisiere (das heißt, Du musst die ursprüngliche Form der Binomischen Formel wieder herstellen):
Beispiellösung:
x² + 6x + 9 = x² + 2*3*x + 3² = x² + 2*x*3 + 3² = (x + 3)²
a² + 2ab + b² = (a + b)²
siehe auch Video Teil 4!
1. 25 - 40 + 16 =
2. x² + 6*x*y + 9*y² =
3. 100 - 20*x + x² =
4. 400 - 100*x² =
5. x² - 18*x + 81 =
Die Lösungen erhaltet ihr hier als Abonnent!
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