Mathe G25: Bruchgleichungen / Bruchterme

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In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:

Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 8. - 10. Klasse

Mathe-Videos

In dieser Lektion lernen wir, mit welchen Werkzeugen wir Bruchgleichungen lösen können: Erweitern von Brüchen, um gleichnamige Nenner zu bilden, Gleichungen umstellen, Binomische Formel und p-q-Formel. Nachdem ihr die Videos gesehen habt, werdet ihr in der Lage sein, alle möglichen Bruchgleichungen (also Gleichungen, die Bruchterme enthalten) selbstständig zu lösen.

Zu Beginn des ersten Videos wiederholen wir einige wesentliche Inhalte. Es wäre trotzdem sinnvoll, wenn ihr die Lektionen G08: Brüche und G12: Terme und Gleichungen vorher gesehen habt. Dann kann es losgehen.

In den Videos werden auch die folgenden Themen angesprochen, zu denen es ebenfalls Video-Lektionen gibt:
- Kommutativgesetz
- Distributivgesetz
- p-q-Formel


1. Video: Bruchgleichungen: Einführung und Voraussetzungen


Was ist eine Bruchgleichung. Wiederholung des Wissens zu den Brüchen und zum Umformen von Gleichungen. Lösen der Bruchgleichung 2/x = 0,5 durch Umformen der Gleichung. Lösen von 2/(x+3) = 5 mit Probe.



Dazugehörige Videos sind für Kunden zugänglich:




Wissen zur Lektion


Der Wissensblock ist in Vorbereitung.

Mathe-Programme


Im Folgenden findet ihr einige Programme zu den Brüchen, mit denen ihr euer Wissen auffrischen könnt:

Spiel: Brüche Quiz

Spiel: Brüche Quiz

Zeigt in diesem Brüche-Spiel, dass ihr die Bruchrechnung beherrscht. In nur 3 Minuten müsst ihr so viele Aufgaben wie möglich richtig berechnen!


Brüche am Kreis

Brüche am Kreis

Stellt Zähler und Nenner des Bruches ein und erkennt die Anteile am Kreis. Falls der Bruch kürzbar ist, wird dies angezeigt.


Bruchrechnung (Grundrechenarten)

Bruchrechnung (Grundrechenarten)

Die vier Grundrechenarten bei beliebigen Brüchen mit Rechenweg, inklusive Erweitern und Kürzen.


Bruchrechnung (als Flächen)

Bruchrechnung (als Flächen)

Mit diesem Programm könnt ihr beliebige Brüche berechnen, die gleichzeitig als Flächen angezeigt werden.


Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben


Neue Aufgaben sind derzeit in Vorbereitung.




Untertitel

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Bruchgleichungen 1/5: Einführung und Voraussetzungen


Hallo liebe Schüler und willkommen zur nächsten Lektion. In dieser Lektion schauen wir uns die Bruchgleichungen an und betrachten wie wir diese lösen können. Wie der Name schon sagt, handelt es sich hierbei um Gleichungen, die Brüche enthalten und bei denen sich im Nenner des Bruchs eine Unbekannte befindet. Bevor wir jetzt richtig loslegen mit den Bruchgleichungen wiederholen wir nochmal ganz kurz, was wir bei den Brüchen gelernt hatten. Wir hatten die Begriffe gelernt: Oben die Zahl ist der Zähler, unten die Zahl ist der Nenner. Dann haben wir gesagt ein Bruch ist nichts weiter als eine Division, darf also jederzeit als Division geschrieben werden. Und hier müssen wir aufpassen, wenn hier unten nicht nur eine 4 steht, sondern zum Beispiel eine Summe. Hier mit einer Variablen. Dann dürfen wir jetzt hier nicht direkt +x ran schreiben, das wäre falsch. Denn da würde 1:4 gerechnet und dann +x. Wir müssen das in Klammern setzen, damit es korrekt ist. Und gleiches gilt für den Zähler, wenn wir hier zum Beispiel eine Summe oder eine Differenz haben. Dann müssen wir hier ebenfalls die Klammer setzen. Gut, das schauen wir uns aber gleich noch bei den Bruchgleichungen intensiver an. Jetzt nochmal weiter zu den Brüchen. Wir hatten gelernt, dass wir jede ganze Zahl als Bruch schreiben können. Mit dieser Eintel. Wir hatten gelernt, was Erweitern und Kürzen ist. Beim Erweitern multiplizieren wir oben und unten mit der gleichen Zahl. Hier im Beispiel mit 2 und erhalten einen anderen Bruch, 6/8 im Beispiel, der jedoch immer noch den gleichen Wert hat wie ¾. ¾ sind 0,75 und 6/8 sind ebenfalls 0,75. Deswegen haben wir auch hier das Gleichheitszeichen gesetzt. Und beim Kürzen machen wir das rückgängig. Wir nehmen uns die 6/8 und dividieren Zähler und Nenner mit 2 und erhalten wieder die ¾. Dann hatten wir gesehen, wie Addition und Subtraktion bei Brüchen funktionieren. Für dieses Beispiel ½ + ¾. Wir müssen die Nenner gleichnamig machen, das heißt da unten muss die gleiche Zahl stehen. Hier können wir zum Beispiel die 4 wählen, denn wir können die 2 zur 4 erweitern. Wir erweitern also ½ zu 2/4. Und dann dürfen wir (2+3)/4 rechnen und wir erhalten 5/4. Das gleiche Verfahren war bei der Subtraktion anzuwenden, nur dass dann eben hier überall minus gerechnet werden muss. Die Multiplikation hatten wir uns auch betrachtet und gesagt, wir müssen Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren. Und erhalten für das Beispiel 3/8. Und bei der Division mussten wir den sogenannten Kehrwert anwenden. Das heißt dividieren wir durch ¾ müssen wir aus der Division eine Multiplikation machen und 3 und 4 tauschen ihren Platz, also Kehrwert. Und da dürfen wir die Regel der Multiplikation anwenden und Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner multiplizieren und erhalten 4/6. Natürlich könnten wir das noch kürzen mit 2 auf 2/3. Die Lösung dieser Aufgabe. Und wer sich nicht erinnert, schaut sich bitte nochmals die Lektion „Brüche“ noch einmal an. Und noch die letzte Erinnerung: Wie war es, wenn wir einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren? Richtig, dann sprang die ganze Zahl hoch zum Zähler. Also hier kommt raus 1*5/2, also 5/2. Und da hatten wir auch noch die gemischten Zahlen kennen gelernt. 5/2 lässt sich schreiben als 2+1/2 und das Pluszeichen können wir wegnehmen: wir erhalten 2 ½, die gemischte Zahl. Und in der Lektion Terme und Gleichungen hatten wir gelernt, dass wir auf beiden Seiten einer Gleichung, hier das Beispiel 3 plus eine unbekannte Zahl ist gleich 5, die gleiche Operation machen können und sich das x dabei nicht verändert. Also wenn wir jetzt auf beiden Seiten 3 abziehen, können wir hier die 3 und die -3 verrechnen zu 0. x+0 ist x. Und auf der rechten Seite der Gleichung 5-3 ist 2. Und hier können wir die 2 einsetzen, die Gleichung stimmt. Und in unserer Ursprungsgleichung, wenn wir hier die 2 einsetzen: 3+2 ist 5. Also mit den Umformungen können wir unsere Gleichung verändern, wie wir es benötigen und unser Wert für x bleibt dabei immer gleich. Gut, jetzt haben wir soweit das Wesentliche wiederholt, gehen wir zu den Bruchgleichungen über.
Wie gesagt, bei den Bruchgleichungen haben wir im Nenner eines Bruches eine Unbekannte stehen und unsere Aufgabe ist es den Wert dieser Unbekannten zu ermitteln. Wenn wir so etwas haben wir 2/x gleich 0,5 wissen wir hier steht 2/x und das durch x können wir entfernen, in dem wir mal x rechnen. Tun wir das auf beiden Seiten der Gleichung. So erhalten wir 2/x*x gleich 0,5*x. Und das hier löst sich auf zu 2. Und wir erhalten die Gleichung 2 gleich 0,5*x. An der Stelle fragen sich einige, warum löst sich 2/x*x auf zu 2? Und das könnt ihr euch wie folgt vorstellen: Nehmen wir das hier nochmal weg und schauen uns nur die 2/x*x an. Wir wissen: Multiplizieren wir einen Bruch mit einer ganzen Zahl springt diese nach oben. das heißt wir können das auch so schreiben (2*x)/x. Und jetzt wisst ihr, wir können wegkürzen oben das x und unten das x, da bleib jeweils 1 stehen. 2*1/1 ist 2. Oder aber auch wir können das jetzt als Division schreiben und erkennen an der Stelle x:x, also eine Zahl durch sich selbst dividiert ergibt immer 1. Und 2*1 ist natürlich 2. Gut, so viel zu dieser Umformung machen wir mit unserer Gleichung weiter. Wir hatten jetzt 2 auf der linken Seite und rechts 0,5*x. Und jetzt wollen wir ja das x alleine stehen haben, das heißt die 0,5 müssen wir hier wegbekommen. Und da erinnert euch an die Multiplikation, speziell an das Kommutativgesetz, das sagte bei Multiplikation dürfen wir beide Faktoren miteinander vertauschen. Also wir dürfen auch schreiben x*0,5. Und jetzt können wir bequem die 0,5 hier wegdividieren. Das heißt wir schreiben hier rechts, dass wir 0,5 auf beiden Seiten dividieren wollen. Und dann erhalten wir 2:0,5 gleich x*0,5:0,5. Und 0,5:0,5 ist 1. x bleibt übrig. Und links, das können wir jetzt ausrechnen, 2:0,5 ergibt 4. Also ist x gleich 4 unsere Lösung. Und schauen wir hier oben, wenn wir hier für x die 4 einsetzen steht da 2/4. Und 2/4 sind 0,5 bzw. wir können auch kürzen 2/4. Oben durch 2 unten durch 2 und wir erhalten 1/2. Und ½, die Hälfte, sind 0,5. Das heißt x = 4 ist die richtige Lösung. Gut, diese Aufgabe war noch recht einfach, erhöhen wir den Schwierigkeitsgrad. Was passiert jetzt, wenn hier unten einen Summe steht? Zum Beispiel x+3, wie müssen wir das jetzt lösen? Und vorher hatten wir ja hier mal x gerechnet. Und damit hier jetzt die 2 alleine steht müssen wir diesen Bruch mit (x+3) multiplizieren. Und das natürlich auf beiden Seiten und wir erhalten 2/(x+3)*(x+3) gleich 0,5*(x+3). Und wir hatten ja vorhin am Anfang der Lektion gesagt, wenn hier zum Beispiel eine Summe steht, im Nenner, sollten wir stets die Klammern setzen. Und das können wir hier auch tun. Und multiplizieren wir mit einem Term dann dürfen wir diesen Term nach oben schreiben. Also wir hatten vorher mal x, dann ist das x hochgegangen, jetzt haben wir mal (x+3), denkt euch das als großes x und das springt hier hoch. Und jetzt dürfen wir diesen Teil und diesen Teil wegkürzen zu 1, denn wie auch beim x, 2*x/x, war 2 bei der vorigen Aufgabe. Jetzt haben wir unser x verändert, wir haben es einfach um 3 erhöht. Nichtsdestotrotz, 2 mal diesen Term durch diesen Term ergibt wiederum 2. Noch als Hinweis, wir hatten ja gesagt, eine ganze Zahl darf auf den Zähler drauf springen, also darf die ganze Zahl auch vom Zähler wieder runterspringen. Und diesmal springt nicht die (x+3) herunter, wie hier, sondern wir nehmen die 2 herunter. Und wir können sie natürlich wieder jederzeit in den Zähler hineinschreiben. Aber jetzt seht ihr (x+3)/(x+3), ein Term mit sich selbst dividiert und wir erhalten 1. Das heißt dieser Teil fällt weg. Und jetzt gilt es noch die rechte Seite zu lösen, hier kennt ihr das Distributivgesetz. Wenn wir hier eine Summe haben, dann müssen wir den Faktor hiervor auf jedes Element multiplizieren. Also wir erhalten 0,5*x, dann plus und dann 0,5*3. Und das sieht zwar anders aus, ist aber immer noch das gleiche. Wie gesagt, schaut euch nochmal die Lektion „Distributivgesetz“ an, da haben wir das erklärt. Gut und jetzt können wir ausrechnen. 0,5*3 das ist 1,5. Die subtrahieren wir auf beiden Seiten. Dann erhalten wir hier -1,5 und hier -1,5. Die beiden heben sich auf zu 0. Das fällt weg. Jetzt können wir hier links rechnen 2-1,5 sind 0,5. Und jetzt wollen wir noch das x alleine stehen haben. wir dividieren also durch 0,5 auf beiden Seiten. Hier ergibt sich 1 und hier heben sich die 0,5 und die durch 0,5 auf zu 1, also bleibt x stehen. Unsere Lösung heißt also x = 1. Und wenn wir das hier einsetzen. 2/(1+3), das wäre dann 4. Und 2/4 sind 0,5. Dies ist eine wahre Aussage, wir haben den Wert für x also richtig berechnet. Und noch als Hinweis. Ihr könnt 1 gleich x schreiben, oder ihr dreht es um zu x gleich 1. Beide Varianten sind möglich und es ist euch überlassen, auf welche Seite ihr den jeweiligen Term schreibt. Sehr schön, schauen wir uns in den nächsten Videos ein paar schwierigere Aufgaben zu den Bruchgleichungen an.


Bruchgleichungen 2/5: Lösung durch Umformen und Erweitern


Schauen wir uns als nächstes an, wie ihr diesen Typ von Gleichungen lösen könnt. Ihr habt hier im Nenner eine Addition mit einer Unbekannten und ihr habt hier im Nenner auf der rechten Seite der Gleichung ebenfalls eine Unbekannte. Wie wir wissen, können wir dieses x hier entfernen, in dem wir mal x heran multiplizieren. Tun wir das. Und natürlich müssen wir das mal x auf beiden Seiten der Gleichung machen. Das heißt wir erhalten 1/(x+8)*x ist gleich 5/x*x. Dieses x und dieses x lösen sich auf. Hier bleibt die 5 übrig und hier drüben dürfen wir das x hier hoch multiplizieren. Also stellt euch vor hier ist eine ganze Zahl, dann darf diese hier hoch in den Zähler. Und jetzt gilt es noch diese (x+8) hier wegzubekommen und da ja hier durch (x+8) steht multiplizieren wir (x+8) einfach auf beiden Seiten. Und hier bitte daran denken, unbedingt die Klammern setzen, weil bei der Division das hier sozusagen in Klammern steht. Das heißt wir erhalten hier (x+8) und hier (x+8). Wie gesagt, dieses (x+8) und dieses (x+8) lösen sich auf zu 1. Hier bleibt 1*x, der Zähle, übrig. Und schon sieht unsere Gleichung viel angenehmer aus, denn als erstes können wir 5*(x+8) mit dem Distributivgesetz ausrechnen. Das heißt die 5 wird auf das x multipliziert und die 5 wird auf die 8 multipliziert und 5*8 sind 40. Und jetzt haben wir 5x so stehen und hier drüben 1x. Lasst uns die x auf eine Seite bringen, also rechnen wir hier -5x. Dann lösen sich diese 5x und diese -5x auf zu 0. Rechts bleibt 40 übrig und hier links 1*x - 5*x, wie viel bleiben übrig? Richtig, -4*x. Und hier ist eine mal -4. Um die wegzukriegen, rechnen wir einfach durch -4. Hier bleibt x übrig und hier 40/(-4) und das ist -10. Die Lösung unserer Aufgabe. Und jetzt können wir die Probe machen, wir setzen -10 hier oben ein. Also für x schreiben wir jetzt -10. Dann erhalten wir hier -10+8 sind -2. Und hier rechts 5/(-10) lässt sich kürzen durch 5. Und dann erhalten wir oben 1 und hier unten, 10/5 ist 2, also -2. Wie wir sehen sind beide Seiten gleich. Das heißt unsere Lösung für x war korrekt mit x gleich -10. Sehr schön! Gehen wir über zur nächsten Aufgabe, die sich schwieriger gestaltet.
Bei der nächsten Art von Bruchgleichung haben wir in zwei Nennern jeweils eine Unbekannte, wobei hier im zweiten Nenner die Unbekannte verdoppelt wird, also 2x. Erinnert euch bitte daran, dass 2x die Kurzschreibweise ist für 2*x. Und wir haben auf der rechten Seite diesmal keinen Bruch, sondern eine ganze Zahl. Bei dieser Aufgabe können wir auch wieder so herangehen wie wir es bei der vorherigen gemacht hatten, in dem wir die Gleichung mit x multiplizieren und mit 2x und damit die Nenner auflösen. Oder wir können auch, was wir jetzt machen, erst diesen Bruch verändern, so dass wir auch 2x stehen haben. Dazu erweitern wir den ersten Bruch mit 2. So erhalten wir im Zähler die 4 und im Nenner unsere 2x. Jetzt haben wir den gleichen Nenner bei beiden Brüchen. Wir haben ihn also gleichnamig gemacht und wir dürfen die beiden Zähler addieren. Wir erhalten also (4+1)/(2x). Und jetzt können wir die 2x, da ja hier durch 2x steht mit *2x auf die andere Seite rüber holen. Dann bleibt links 4+1 übrig und rechts 5*2x. Das ergibt 10x und das ergibt 5. Und diese Gleichung lässt sich lösen, indem wir hier bei 10x, was ja die Kurzschreibweise ist für 10*x, durch 10 dividieren. Dann steht das x alleine da. 5/10 auf der linken Seite und x auf der rechten Seite. Und 5/10, das sind 0,5 oder als Bruch ½. Hier ist es euch überlassen, wie ihr die Sache schreibt. Und jetzt können wir die 0,5 nehmen und hier oben die Probe machen. Schreiben wir es hier nach rechts und setzen jetzt für x die 0,5 ein. Dann können wir ausrechnen 2/0,5 ergibt 4. Dann das Plus. Und jetzt 1/(2*0,5). 2*0,5 ist 1 und 1/1 ist 1. Und da soll 5 rauskommen. Und wie wir sehen 4+1 ist 5. Und 5 ist gleich 5, also eine wahre Aussage. Unser Ergebnis mit 0,5 ist also korrekt. An dieser Stelle noch ein wichtiger Hinweis. Und zwar hätten wir diese Gleichung so gelöst, wie wir es bei der vorigen Gleichung gemacht hatten, in dem wir die ganze Gleichung mit x multiplizieren. Dann fällt das x hier weg, die 2 bleibt stehen. Das x kommt bei 1/(2x) hinzu und bei der 5 kommt ebenfalls das x hinzu. Und wenn wir jetzt bei den 2x das x wegbekommen möchten, würden wir jetzt mit 2x multiplizieren. So kommt die 2x hier hinzu, hier hinzu und hier hinzu. Und natürlich, die 2x und die 2x heben sich auf es bleibt nur noch 1*x übrig. Jetzt müssten wir das hier zusammenfassen. 2*2x sind 4x und 4x + 1x sind natürlich 5x. Und hier drüben können wir die 2 nach vorne ziehen. 2*5 sind 10. Und x*x sind, richtig, x². Wenn wir das jetzt lösen wollen, müssen wir jetzt alles auf eine Seite schreiben, also ziehen wir die 10*x² hier rüber mit einer Subtraktion. Dann erhalten wir -10x²+5x gleich 0. Und jetzt fragt sich, wie lösen wir diese Gleichung? Denn hier haben wir ein x² und hier ist gleich 0. Und an der Stelle erinnert euch bitte an das Ausklammern, denn wenn wir so etwas stehen haben wie x*x+x, als Nebenbeispiel, dann könnten wir jetzt ein x herausschreiben und müssten dann hier, damit das immer noch der gleiche Term ist, jeweils x und x dividieren. Also hier bleibt dann x*x/x ein x übrig. Und hier bleibt x/x 1 übrig. Und dann können wir es auch zurückwandeln mit dem Distributivgesetz. x*x ist x*x. Dann das Plus und dann x*1 ist x. Das war also das Ausklammern. Und genau das machen wir jetzt mit unserem Term hier oben. Hier oben haben wir ein x² stehen, das ist ja x*x und ihr seht die Ähnlichkeit. Gut, also ziehen wir das x hier raus. Nehmen dann hier ein x weg, also von dem x*x hier drinnen fällt ein x weg und hier drüben bei 5*x nehmen wir auch das x weg. So haben wir also ausgeklammert. Und jetzt der zweite Gedanke. Diese Gleichung soll ja 0 sein. Das heißt wir fragen uns, wann sie 0 ist. Und da erinnert euch an die Regel „alles mal 0 ist 0“. Also 0*0 ist auf jeden Fall 0. Und dabei brauchen wir nur eine mal 0. Also hier kann irgendeine beliebige Zahl stehen oder mehrere Zahlen in Verbindung, alles mal 0 ist 0. Das heißt wenn hier eine Zahl rauskommt, das z, und x 0 ist, auf dieser Seite, wird 0 mal diese ganze Sache hier wieder 0 sein. Das heißt das Erstergebnis hier ist auf jeden Fall 0. Halten wir das hier fest. Unser erstes Ergebnis für x. Und dann, wenn wir sagen x wäre jetzt nicht 0, sondern eine Zahl, die nicht 0 ist, dann müsste diese Klammer hier, was wir hier drin ausrechnen, 0 ergeben und dann wäre auch die Gleichung 0. Denn x*0, wenn hier 0 rauskommt, ist ja wieder 0. Das heißt, wann ist -10*x+5 gleich 0, das ist jetzt noch zu klären. Und um diese Teilgleichung hier zu lösen, subtrahieren wir die 5 hier rüber und dividieren durch -10. Und richtig, -5/(-10) sind 0,5. Die zweite Lösung dieser Gleichung hier. Und jetzt sehen wir, wir hatten ja davor diese Gleichung gelöst, indem wir den ersten Bruch erweitert hatten und hatten das Ergebnis 0,5 erhalten. Durch das Umformen der Gleichung jedoch mit mal x auf beiden Seiten haben wir ein zweites Ergebnis mit x = 0. Und jetzt müssen wir uns fragen, ist diese eine korrekte Lösung. Bei 0,5 hatten wir ja schon die Probe gemacht, das war korrekt. Und wenn wir jetzt bei unserer Gleichung die 0 einsetzen, hätten wir ja 2/0. Aber die Division durch 0 ist nicht definiert, das heißt dieses Ergebnis kann nicht stimmen. Und um das festzuhalten, müssen wir den sogenannten Definitionsbereich festlegen bzw. man sagt auch Definitionsmenge dazu. Und das meint alle erlaubten Werte für x. Und die Definitionsmenge bezieht sich auf das jeweilige x und die Werte, die wir dafür einsetzen können. Wenn wir uns also 2/x anschauen. Nur diesen Term! Wissen wir, x darf nicht 0 sein, denn 2/0 ist nicht definiert. Die Definitionsmenge, also alle Werte die wir für x einsetzen können, besteht also aus den reellen Zahlen. Also erinnert euch, die reellen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, den ganzen Zahlen, den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen. Vereinfacht gesagt, das sind alle Zahlen, die ihr bis zur zehnten Klasse kennen gelernt habt. Wer sich nicht an die Zahlenmengen erinnern kann, schaut sich bitte die entsprechende Lektion an. Also bei 2/x kann eine 1 für x eingesetzt werden, eine -1/2, eine minus Wurzel 2 und so weiter. Alle reellen Zahlen, nur nicht 0. Und das schreiben wir so. Der Querstrich heißt „außer“. Dann zeigt diese Klammer an „jetzt kommt eine Menge“, die besteht bei uns nur aus dem Element 0 und diese Klammer schließt die Menge. Das heißt also, für x dürfen wir alle Zahlen einsetzen außer 0. Und bei 1/(2x) was haben wir da für eine Definitionsmenge? Richtig, die gleiche! Hier darf keine 0 stehen. Der Nenner darf nicht 0 werden und das ist der Fall wenn x gleich 0 ist. Das heißt dieses Ergebnis ist nicht erlaubt, wir haben nur ein Ergebnis mit x = 0,5. Bei den Bruchgleichungen müsst ihr also immer darauf achten, dass der Nenner nicht 0 ist. Schauen wir uns einen weiteren Typ von Bruchgleichung im nächsten Video an.


Bruchgleichungen 3/5: Lösen mit Hilfe der Binomischen Formel


Im vorigen Video hatten wir gesehen, dass wir bei Bruchgleichungen die Definitionsmenge festlegen müssen und wenn unten im Nenner ein x steht, darf x nicht 0 sein. Aber Achtung, wenn der Nenner nicht nur x ist, sondern zum Beispiel x+2, dann darf hier eine 0 eingesetzt werden, denn dann steht da 0+2 ist 2 und 2/2 ist 1, also ein vernünftiges Ergebnis. Wenn jedoch für x -2 eingesetzt wird, dann hätten wir -2+2 gleich 0 und wir hätten eine Division durch 0. Das heißt die Definitionsmenge hier sind alle reelle Zahlen außer, richtig, -2. Und würden wir hier mehrere Brüche haben, zum Beispiel +5/(x-2), dann darf hier keine positive 2 eingesetzt werden, denn 2-2 ist 0. Also wäre die Definitionsmenge jetzt hier -2, von diesem Bruch, und 2 von diesem Bruch. Oft wird Definitionsmenge übrigens abgekürzt als D. Das heißt, wenn ihr so etwas seht, wisst ihr, die Definitionsmenge, alle Werte für x die erlaubt sind, sind die reellen Zahlen außer -2 und 2. Und da wir hier eine schöne Gleichung haben, machen wir die noch weiter: ist gleich 20/(x²-4). Und jetzt haben wir auch eine Bruchgleichung, wo wir ein x² dabei haben. Und Frage: gibt es hier einen Wert für x, den wir ausschließen müssen? Kann das hier 0 werden? Und die Antwort ist „Ja“, denn wenn wir hier 2 einsetzen…2² ist 4 minus 4 ist 0. Dann wird also der Nenner 0 und wir hätten eine Division durch 0. Und die 2 haben wir hier schon ausgeschlossen. Und wir müssen auch die -2 ausschließen, denn (-2)² ist ebenfalls 4. Und da hätten wir auch wieder 4-4 gleich 0. Und die steht auch schon hier. Das heißt der Definitionsbereich ist hier korrekt angegeben auf diese Art und Weise. Gut, lasst uns diese Aufgabe jetzt lösen. Wie machen wir das? Wie bekommen wir den Wert für x raus? Und wir könnten jetzt natürlich, wie wir schon gesehen haben, alle Terme jetzt mit (x+2) multiplizieren, dann fällt das hier weg. Alle Terme mit (x-2) multiplizieren, dann fällt das hier weg. Und danach noch alle Terme mit (x²-4) multiplizieren, dann fällt das hier weg. Aber das ist sehr umständlich und aufwendig. Wir wollen uns Zeit sparen und wollen sehen, ob wir die Nenner durch Erweitern oder Kürzen gleichnamig machen können. Also, dass alle drei Nenner gleich aussehen. Und an dieser Stelle sehen wir, wenn wir (x+2) mit der (x-2) multiplizieren, dann erkennen wir, hier steckt die dritte binomische Formel drin. (a+b)*(a-b). Also wer sich nicht erinnert, die dritte binomische Formel sieht so aus: (a+b)*(a-b) ist das gleiche wie (a²-b²). Schaut euch auch hierzu bitte die Lektion zu den binomischen Formeln an. Das heißt unser a ist das x hier in der Gleichung und unser b ist die 2 in der Gleichung. Wir erhalten also nicht a², sondern x² minus, und unser b die 2, also 2². Und wir wissen 2² ergibt 4. Und hier erkennen wir, unser Term ist auch hier im Nenner zu finden, in dem dritten Bruch. Das heißt, wenn wir unseren dritten Bruch mit (x-2) erweitern, erhalten wir den Nenner x²-4. Also machen wir das. Erweitern wir den ersten Bruch mit (x-2) im Zähler und im Nenner. Und auch hier wieder ganz wichtig, immer die Klammer setzen, sonst erhaltet ihr falsche Ergebnisse. Verändern wir den Nenner, muss er immer in Klammer geschrieben werden. Und jetzt hatten wir das ja schon ausgerechnet, hier kommt x²-4 heraus. Und hier im zweiten Bruch haben wir x-2. Das heißt wenn wir diesen mit (x+2) multiplizieren erhalten wir ebenfalls x²-4. Erweitern wir diesen also mit (x+2). Können wir hier auch die dritte binomische Formel anwenden und wir erhalten x²-4 im Nenner. Und jetzt haben wir in jedem Nenner ein x²-4 stehen und jetzt dürfen wir die gesamte Gleichung mit (x²-4) multiplizieren wodurch alle Nenner wegfallen werden und es bleibt stehen: 2*(x-2), 5*(x+2) und die 20. Und diese Gleichung lässt sich jetzt wunderbar auflösen. Wir wenden das Distributivgesetz an um die Sachen hier auszumultiplizieren und erhalten: 2*x – 2*2 und hier 5*x + 5*2. 2*2 ergeben 4 und 5*2 sind 10. Die 5x schreiben wir nach vorne und fassen weiter zusammen: 2x+5x sind 7x und -4+10 ergibt 6. Jetzt ziehen wir die 6 auf die rechte Seite, hier bleibt 14 übrig. Und, um die 7 wegzubekommen, durch 7 auf beiden Seiten. Dann bleibt hier x stehen und hier rechts 14:7 und das ist natürlich 2. So haben wir also die Lösung ermittelt x gleich 2, für unsere Aufgabe hier oben. Doch wir haben an dieser Stelle ein Problem, denn die 2 gehört nicht zur Definitionsmenge. Das heißt wir dürfen sie nicht für x einsetzen wie wir ja vorher bei der Definitionsmenge festgelegt hatten. Und da die berechnete Lösung 2 nicht zur Definitionsmenge gehört, dürfen wir sie nicht verwenden, was wiederum heißt, dass wir keine Lösung für x haben. Diese Aufgabe ist nicht lösbar. Wir finden keinen Wert für x, damit diese Gleichung funktioniert und wir schreiben L für Lösungsmenge ist gleich und da schreiben wir gar keine Menge rein, also eine leere Menge. Das ist also die korrekte Lösung dieser Aufgabe. Die Lösung ist leer. Wir haben also keinen Wert für x gefunden damit die Gleichung funktioniert.
Gehen wir nochmal einen Schritt zurück in unserer Aufgabe hier, an die Stelle, wo wir die Nenner gleichnamig gemacht hatten. Und sagen wir, wir haben jetzt hier nicht eine 5 und eine 20, sondern wir machen hier eine komplett neue Aufgabe draus, in dem wir für 5 eine 1 einsetzen und für 20 setzen wir jetzt auch eine 1 ein. Damit ändern sich natürlich auch die beiden Zahlen hier. Wir haben also eine neue Aufgabe erschaffen: 2/(x+2) + 1/(x-2) ist gleich 1/(x²-4). Dann haben wir hier den Bruch erweitert mit (x-2), so dass da im Nenner (x²-4) herausbekommen. Dann haben wir diesen Bruch erweitert mit (x+2), damit hier eine (x²-4) herauskommt und dann haben wir diesen Bruch so gelassen, denn hier ist ja schon (x²-4). Und jetzt wie war das? Richtig, wir multiplizieren (x²-4) alle Terme unserer Bruchgleichung, wodurch dann die Nenner wegfallen und wir nur noch die Terme aus den Zählern haben. 2*(x-2) ist hier, 1*(x+2) ist hier und die 1 bleibt hier übrig. Und das lösen wir jetzt auch auf wie schon zuvor. Dann kommt hier raus: 2*x-2*2. Plus. Die 1 mal fällt weg. Und jetzt können wir aus 2*2 die 4 machen. Diese -4 mit der +2 verrechnen zu -2. Und die 2x addieren mit dem 1x hier, dann erhalten wir 3x. Jetzt addieren wir +2 und erhalten hier 3. Und im letzten Schritt, die 3 wollen wir weghaben, also dividieren wir die Gleichung durch 3 und 3:3 ist 1. Unsere Lösung ist also x gleich 1 und wir erkennen im Vergleich zur vorigen Aufgabe, diese Gleichung hat eine Lösung mit x gleich 1. Die Definitionsmenge sind ja alle reellen Zahlen außer -2 und 2, das heißt die 1 ist nicht ausgeschlossen, sie ist eine reelle Zahl und sie ist damit gültige Lösung für diese Gleichung. Wir schreiben also L, die Lösungsmenge, ist die Menge 1. Und wenn ihr das ermittelt habt, macht ihr stets die Probe, setzt für x den ermittelten Wert ein. Denn nur wenn der Wert für x stimmt, stimmt auch unsere Gleichung. Das heißt wir setzen jetzt für x die 1 ein. Und rechnen jetzt, hier, das ist 3. Hier ergibt sich -1. Und hier ergibt sich 1-4, also -3. Und Plus und Minus, das hier ist Minus. Und wir wollen ja Drittel verrechnen. Das heißt wir brauchen hier Drittel. 1/1 erweitern wir mit 3 zu 3/3. Und wenn wir von 2/3 3/3 abziehen, also 2-3 im Zähler rechnen, bleibt -1 übrig. Und dieses Minus können wir auch vor den Bruch schreiben, oder aber auch direkt an die 1. Also 2/3-3/3 sind -1/3. Diese Aussage, diese Gleichung ist richtig. Unsere Lösung ist also korrekt. Wir merken uns also mit Hilfe der binomischen Formel können wir oft den Nenner umformen um so schneller auf die Lösung zu kommen.


Bruchgleichungen 4/5: Lösen mit Ausklammern und Erweitern


Bei der nächsten Art von Bruchgleichungen lassen sich die binomischen Formeln nicht anwenden. Hier müssen wir alle drei Nenner so erweitern, dass sie gleichnamig sind. Die Schwierigkeit jedoch ist, dass hier zum Beispiel kein x vorhanden ist und die beiden nicht direkt ineinander zu überführen sind. Wie gehen wir als hier vor? Und nochmal zur Erinnerung was wir bei der Bruchrechnung gelernt hatten. Wenn wir zwei Brüche hatten, deren Nenner nicht gleich war, haben wir sie einfach multipliziert. Also diesen Bruch erweitert mit diesem Nenner und diesen Bruch erweitert mit diesem Nenner, mit der 2. Und wir haben dadurch erhalten den gemeinsamen Nenner 6 aus der 3*2. Und dann haben wir das lösen können zu 5/6. Und dieses Erweitern des einen Bruches mit dem Nenner des anderen, das machen wir in gleicher Form hier oben. Die Schwierigkeit besteht jetzt hier nur darin, dass wir hier drei Nenner haben. Das heißt hätten wir bei unserem Beispiel hier unten noch einen dritten Bruch, wie 1/5 so müssten wir alle drei Nenner miteinander multiplizieren, also hier die 2 erweitert mit 3 und 5 und die 1/3 nicht nur erweitert mit 2, sondern auch mit der 5. Und dann unsere 1/5, richtig, erweitert mit 2 und 3. Also mal 2 mal 3. Und so könnten wir jetzt diese Aufgabe lösen, denn wir haben jetzt überall den gleichen Nenner erzeugt und zwar 2*3 sind 6. Mal 5 sind 30. Hier, hier und hier. Und wir würden die Zähler ausrechnen mit 15, 10 und 6. Und die Lösung wäre dann 31/30. Und wie gesagt, genau das machen wir jetzt auch hier oben, nur unsere Nenner sehen etwas komplizierter aus. Das heißt vielleicht können wir sie noch etwas vereinfachen. Und hier sehen wir zum Beispiel beim ersten Nenner in (4x+2) steckt die 2 drin. Hier und hier. Wir können diesen also auseinander nehmen zu 2*(2x+1), also wir haben die 2 ausgeklammert. Und jetzt können wir das wieder zurückwandeln: 2*2x sind 4x plus 2*1 sind 2. Also hier würde immer noch der gleiche Wert herauskommen wie auf dieser Seite. Die 4 in diesem Nenner hier, können wir schreiben als 2*2. Und die (2x+1), da lässt sich nichts vereinfachen. Die lassen wir so stehen! Und wenn wir das hier jetzt untereinander schreiben und ein bisschen verrücken, sehen wir, dass wir diese drei Nenner gleichnamig machen können, in dem wir jeweils das fehlende Element ergänzen. Hier fehlt die 2. Hier fehlt das (2x+1) und hier fehlen die 2*2. Und genau mit diesen Termen erweitern wir jetzt unsere drei Brüche. Schreiben wir das hier runter und wir sehen (4x+2) ist das gleiche wie 2*(2x+1). Hier fehlt die 2, wir erweitern also diesen Bruch mit 2. Und auch hier bitte unbedingt aufpassen, auch den Zähler in Klammern setzen, denn hier haben wir eine Differenz. Und auch den Nenner in Klammer setzen, hier haben wir eine Addition. Unseren nächsten Bruch: Da fehlt das (2x+1), also erweitern wir diesen Bruch mit (2x+1). Wir erweitern ihn also mit einem Term. Und in unserem dritten Bruch, da fehlen die beiden Multiplikationen mit der 2, die fügen wir jetzt hier hinzu. Wenn wir jetzt hier die Nenner ausrechnen, erhalten wir 4x*2 sind 8x und 2*2 sind 4. Gleiches hier: 4*2x sind 8x plus 4*1 sind 4. Und hier: 2*2 sind 4 und dann haben wir wieder 4*2x + 4*1, also 8x+4. Ja und jetzt, das haben wir vorhin schon gesehen, dürfen wir die Gleichung mit 8x+4 multiplizieren, damit der Nenner wegfällt. Es bleibt also übrig: (x-1)*2 + 9*(2x+1) ist gleich 3*2*2. Das lässt sich doch wunderbar auflösen nach x. Das heißt wir erhalten hier 2x-2. Hier ergibt sich 18x+9 und hier ergibt sich 12. Nehmen wir ein paar Zeilen weg, damit wir Platz haben zum Schreiben. Die 2x addieren wir zu den 18x, dann ergibt sich 20x und -2+9 ist 7. Und rechts bleibt die 12 stehen. Jetzt ziehen wir die 7 rüber mit -7. 12-7 ist natürlich 5 und dann noch durch 20 und es bleibt nur noch stehen x gleich 5:20, also 5/20. Was sich wiederum kürzen lässt durch 5, also ¼. Und das ist die Lösung für unsere Aufgabe. Aber Vorsicht, wir hatten noch nicht den Definitionsbereich bestimmt, also die Definitionsmenge, vielleicht gehört ja die ¼ nicht dazu?! Also schauen wir nochmal auf unsere Nenner, denn diese dürfen ja nicht 0 werden. Die 4 hier kann niemals 0 werden, da haben wir kein x dabei, aber (4x+2), wann kann das 0 werden? Und das stellen wir um. -2 hier rüber, durch 4. Und -2:4, schreiben wir das als Bruch sind -2/4 und das kann man kürzen auf -1/2. Also x darf hier nicht -1/2 sein, sonst wird dieser Nenner 0, schließen wir also diesen Wert aus unserer Definitionsmenge aus. Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen außer, und jetzt das Mengenzeichen, die geschwungenen Klammern, und setzen wieder -1/2 ein. Gut, gibt es weitere Werte, für die unsere Gleichung nicht definiert ist? Schauen wir mal hier. Hier ist 2x+1. Wann ist das 0? Und hier können wir ebenfalls umformen. 1 hier rüber und durch 2 auf beiden Seiten damit x alleine steht. Und auch hier darf x nicht -1/2 sein, also der gleiche Wert wie hier drüben. Also das hier ist die Definitionsmenge, die erlaubt ist für diese Gleichung; x darf nie -1/2 sein. Und unsere Lösung ist ja ¼. Das heißt die Lösung ist korrekt und wir können die Lösungsmenge notieren mit ¼. Die Probe für diese Aufgabe könnt ihr jetzt einmal selbst machen und entspricht der Wert auf der linken Seite dem Wert auf der rechten Seite haben wir eine wahre Aussage und die Lösung stimmt.
Schauen wir uns im Folgenden an, wie wir diese Gleichung auflösen können. Hier haben wir statt x diesmal a geschrieben und wie ihr seht haben wir in allen Nennern eine Unbekannte und zwar hier einmal, hier dreimal und hier sechsmal. Wie lösen wir das hier auf? Und da können wir ganz einfach, die Nenner jeweils erweitern um auf 6a zu kommen. Also, wenn wir a mit 6 multiplizieren erhalten wir 6a. Wir erweitern diesen Bruch also mit 6. Um von 3a auf 6a zu kommen, müssen wir 3a mit 2 multiplizieren. Wir erweitern den zweiten Bruch mit 2. Und 6a können wir so lassen. Gut, dann rechnen wir das aus. Das ergibt 18/(6a). Schreiben wir das hier unten hin. Das ergibt 4/(6a). Und der Rest bleibt so stehen. Jetzt können wir die gesamte Gleichung mit 6a multiplizieren, wodurch hier der Nenner wegfällt und auf der rechten Seite hier die 6a erscheint. Jetzt können wir das hier links zusammenrechnen: 18-4+1 sind 15 und 5*6 sind 30. Jetzt noch die 30 hier rüberdividiert und wir erhalten a gleich 15/30. 15 durch 30 ist das gleiche wie ½. Oder 0,5. So haben wir also die Lösung gefunden für unsere Aufgabe. Wir hatten jedoch noch nicht die Definitionsmenge bestimmt. Schauen wir nochmal. Die Definitionsmenge sind alle unsere reellen Zahlen außer, wann wird der Term 0 jeweils? Richtig, wenn a 0 ist. Also nehmen wir die 0 aus unserer Definitionsmenge heraus. Noch ein Hinweis, an der Stelle, zur Schreibweise. Manchmal findet ihr auch die Notation, also die Schreibweise, wie folgt: a ist Element aus R, also das a kann einen Wert aus den reellen Zahlen annehmen und jetzt ein senkrechter Strich, der heißt „unter der Bedingung, dass“ a ungleich 0 ist. Und wir müssen hier vorne noch das D ist gleich schreiben und setzen hierum die geschwungenen Klammern. Das heißt also die Definitionsmenge für unser a sind alle reellen Zahlen, jedoch darf a nicht 0 sein. Gut, wie auch bei den anderen Aufgaben können wir jetzt 0,5 für a einsetzen und das ausrechnen und ihr werdet sehen, dass sich auf der linken Seite der Wert 5 ergibt so wie auf der rechten Seite. Gehen wir über zur nächsten Aufgabe.
Schauen wir uns als nächstes eine Aufgabe an, bei der zwei Brüche vorkommen, und bei beiden Nennern jeweils die Unbekannte, hier n. Wir wollen als erstes festlegen wie der Definitionsbereich ist, das heißt, wann wird der Nenner 0? Und benutzen wir unsere neue Schreibweise die lautet: Definitionsmenge ist gleich geschwungene Klammer auf, dann unsere Variable, also unser n, jetzt soll n Element der reellen Zahlen sein und unter der Eigenschaft bzw. unter der Bedingung n ungleich, also was darf n nicht sein, so dass hier 0 rauskommt. Richtig, was minus 1 ist 1, klar n gleich 1. Also n darf nicht 1 sein. Und für den zweiten Bruch, richtig, wenn wir hier eine 2 hinsetzen würde sich hier auch 0 ergeben. Das heißt n darf auch nicht 2 sein. Wir ergänzen: und n ungleich 2, geschwungene Klammer zu. Das ist also unsere Definitionsmenge. Gut, und wie lösen wir das jetzt? Wie schon gesagt, wir erweitern diesen Bruch mit (n-2) und diesen mit (n-1). Jetzt können wir die Gleichung, da ja hier und hier der gleiche Nenner ist mit dem kompletten Nenner multiplizieren. Dadurch fallen die kompletten Nenner weg. Und wir können weiter auflösen, ausmultiplizieren. Zusammenfassen. Die 3n hier drüben subtrahieren und die 4 hier rüber addieren. Jetzt wieder zusammenfassen und wir erhalten unser Ergebnis mit n gleich -2. Und ihr könnt jetzt die Probe machen, wenn wir hier -2 einsetzen kommt hier -3 raus. 3/(-3) ist -1 auf der linken Seite. Und setzen wir hier -2 ein kommt hier unten -4 raus. 4/(-4) ist -1 auf dieser Seite. Und dann -1 gleich -1 ist eine wahre Aussage. Und schauen wir noch auf die Definitionsmenge, ist unsere Lösung -2 erlaubt? n hatten wir gesagt darf nicht 1 und darf nicht 2 sein. -2 ist damit erlaubt. Die letzte Aufgabe die wir uns anschauen wird mit der pq-Formel, bzw. auch Mitternachtsformel genannt, gelöst.


Bruchgleichungen 5/5: Lösen mit Normalform und p-q-Formel


Die letzte Aufgabe lautet (x+1)/x + (x+2)/x ist gleich x. Und hier sehen wir, x darf nicht 0 werden, da sonst die Brüche nicht definiert sind. Und das steht hier drüben: Definitionsmenge, x darf alle reellen Zahlen annehmen, außer die 0. Gut, wie lösen wir diese Gleichung? Da hier im Nenner x steht und hier im Nenner x steht multiplizieren wir doch einfach die gesamte Gleichung mit x damit wir die Nenner beseitigen. Und wir erhalten x+1 + x+2 ist gleich x*x. Die beiden sind weggefallen und das hier hat ein x dazubekommen. Dann schreiben wir das auch als x². Als nächstes fassen wir die zusammen. Hier ein x hier ein x, wir haben also 2x. Und hier 3. Dann subtrahieren wir die beiden Werte hier rüber. Und jetzt erhalten wir eine besondere Form einer quadratischen Gleichung und zwar die sogenannte Normalform, die wir bereits in der Lektion „Quadratische Funktionen“ kennen gelernt hatten. Allgemein hieß sie x²+px+q gleich 0. Und wenn wir hier die beiden Seiten umdrehen seht ihr, dass diese Form vorliegt. Wir haben hier zwar ein Minus, aber wir dürfen das ja auch als Addition schreiben, als Plus Minus. Und genauso die -3 als Plus -3. So können wir also die Unbekannten p und q zuordnen. p ist hier -2 und q ist -3. Und um diese Gleichung aufzulösen, so dass wir für x eine Lösung bekommen oder auch zwei Lösungen benutzen wir die pq-Formel, auch Mitternachtsformel genannt. Sie lautet x_(1,2), das heißt es sind zwei Lösungen möglich, deshalb schreiben wir diesen kleinen Index 1 und 2, ist gleich –p/2 Plusminus Wurzel((p/2)² - q). Das heißt mit dieser Formel, wenn wir da p und q einsetzen, erhalten wir die Ergebnisse für x. Machen wir uns etwas Platz, schieben wir das nach oben und setzen jetzt für p die -2 und für q die -3 ein. p ist hier -2. Hier ebenfalls und q ist -3. Und jetzt können wir diesen Term auflösen. (-2)/2 ist -1. Und minus minus ist plus. Und hier unter der Wurzel (-2/2) ist -1. Ins Quadrat ist 1. Und minus -3 ist 3. Und 1 + 3 ist natürlich 4, wobei die Wurzel aus 4 2 ist. So erhalten wir also zwei Möglichkeiten der Lösung, indem wir einmal + und einmal – setzen. Das heißt x_1 ist 1 + 2 und x_2 ist 1 - 2. Und das ergibt 3 und das ergibt -1. Und wir haben unsere Lösungen für x. Einmal mit 3 und einmal mit -1. Beide sind nicht 0, wie wir ja sagten 0 ist nicht erlaubt, das heißt beide sind richtige Lösungen. Und auch die Probe könnt ihr wieder machen. Ihr setzt für x 3 ein, das heißt 3+1 sind 4. 4/3 kommt hier hin. Hier die 3+2 sind 5. 5/3. 4/3 + 5/3 sind 9/3. 9/3 sind 3. Und hier x ist 3. Also steht dann da 3 gleich 3. Und für -1 könnt ihr selbst die Probe machen. Und hier haben wir schön gesehen, wie man die pq-Formel anwenden kann um diese quadratische Gleichung zu lösen. Fassen wir also nochmal zusammen und schauen uns die Gleichungen an, die wir behandelt hatten. Wir hatten angefangen bei so einer einfache 2/x gleich 0,5. Das x haben wir einfach auf beiden Seiten multipliziert und konnten diese lösen. Dann sind wir übergegangen zu einer Addition. 2/(x+3). Hier haben wir die Gleichung mit (x+3) multipliziert und das dann aufgelöst. Dann hatten wir zwei Brüche und jeweils zwei verschiedene Nenner. Hier hatten wir die Möglichkeit gelernt beide gleichnamig zu machen, indem wir diesen Bruch mit x erweitert haben und diesen Bruch mit (x+8). Und dann hatten wir so eine Aufgabe, bei der wir diesen Bruch mit 2 erweitern konnten. Dann hatten wir hier 2x und hier 2x, dann haben wir die gesamte Gleichung mit 2x multipliziert und dann sind die Nenner weggefallen und wir konnten das nach x auflösen. Dann hatten wird diese Gleichung. Hier gab es drei Brüche mit drei verschiedenen Nennern und wir hatten gesehen, dass hier die dritte binomische Formel anwendbar ist um die drei Brüche gleichnamig zu machen. Also alle waren nachher (x²-4). Diesen Bruch hatten wir mit (x-2) erweitert und diesen Bruch hatten wir mit (x+2) erweitert. Und dann hatten wir den Nenner, der bei allen drei gleich war, entfernt, indem wir die Gleichung mit (x²-4) multiplizierten und dann konnten wir nach x auflösen. Problem hier war jedoch, dass das Ergebnis 2 war und die 2 nicht zur Definitionsmenge gehört. Und wenn x 2 ist, kommt hier 0 raus und die Division durch 0 ist nicht definiert. Dann hatten wir eine ähnliche Aufgabe, hier wurden jedoch die Zähler geändert und hier kam für x der Wert 1 raus, der erlaubt war. Also die korrekte Lösung war dann für diese Aufgabe 1. Dann hatten wir noch eine Aufgabe, die etwas schwieriger war, denn hier mussten wir alle drei Nenner gleichnamig machen und zwar in dem wir sie zerlegt haben, also die 4 hatten wir in 2*2 zerlegt und hier hatten wir die 2 ausgeklammert. Und dann hatten wir die entsprechenden Faktoren ergänzt, in dem wir die Brüche erweitert hatten. Dann hatten wir noch diese Aufgabe, wo wir Produkte hier im Nenner hatten und da hatten wir die Brüche entsprechend auf 6a erweitert. Dann die Gleichung mit 6a multipliziert, dadurch sind die Nenner weggefallen und wir konnten das nach a auflösen. Und die letzten beiden. Hier hatten wir (n-1) und (n-2) jeweils im Nenner, da haben wir diesen Bruch einfach mit (n-2) erweitert und diesen Bruch mit (n-1) erweitert. Die Nenner entfernt und entsprechend nach n aufgelöst. Und bei der letzten Aufgabe hatten wir die Gleichung mit x multipliziert, dadurch ist hier ein x² entstanden, der Nenner ist dabei weggefallen und dann haben wir diese quadratische Gleichung in eine Normalform gebracht. Und diese Normalform mit Hilfe der sogenannten pq-Formel gelöst.
So, wir haben jetzt eine ganze Menge gelernt. Sagen wir an dieser Stelle nochmal ganz allgemein, wie die Schritte zum Lösen von Bruchgleichungen aussehen. Der erste ist das Erweitern aller Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Und wenn wir diesen gemeinsamen Nenner geschaffen haben dann können wir im zweiten Schritt die Gleichung so umformen, dass alle Nenner wegfallen. Und dann natürlich im dritten Schritt lösen wir die Gleichung nach x auf. Also wir lösen die Gleichung so auf, dass die Unbekannte alleine steht auf einer Seite der Gleichung. Gut, das sind im Wesentlichen die drei Lösungsschritte die wir benötigen um die Unbekannte bei Bruchgleichungen zu bestimmen. Um zu prüfen, ob ihr jetzt auch eigene Aufgaben lösen könnt, schlagen wir euch folgendes vor. Stoppt das Video und macht diese drei Übungen. Nehmt euch ein Papier und ein Stift zu Hand, versucht diese drei durchzurechnen und anschließend lasst ihr das Video weiter abspielen, denn wir zeigen gleich die einzelnen Lösungen im Schnelldurchgang. Also bis gleich!
Gut, lösen wir die erste Aufgabe. Bei dieser Aufgabe haben wir zwei Nenner, bei denen eine Unbekannte drin ist, b. Das heißt wir wollen bei den beiden einen gemeinsamen Nenner bilden und der wäre in dem Fall 4b, denn wir können 2b*2 multiplizieren, also den Bruch erweitern und damit erhalten wir 4b im Nenner und oben 2+2b. Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit 4b, damit fallen die Nenner weg. Damit erhalten wir 2+2b gleich 5 + ¼*4b. ¼*4b sind 4b/4. Und jetzt 4/4, die kürzen sich weg und es bleibt nur b übrig. Jetzt können wir die Gleichung umstellen. Wir subtrahieren b hier rüber und die 2 hier rüber. Wir erhalten b gleich 3 als Lösung. Die Definitionsmenge hier für b, wir sehen, dass b hier nicht 0 sein darf und b darf 3 sein, es ist also eine gültige Lösung. Gehen wir über zur nächsten Aufgabe. Also Aufgabe Nummer 2. Hier können wir auch wieder einen gemeinsamen Nenner bilden. Hier sind 2y, hier sind 3y. 6y wäre ein gemeinsamer Nenner. Dazu müssen wir hier mit 3 erweitern und diesen Bruch mit 2 erweitern, so ergibt sich im Nenner 6y. Und die Zähler bitte auch ausrechnen. Im nächsten Schritt multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit 6y und wir erhalten 15+8 gleich 7/2*6y. Das sind 23 und das sind 42/2, also 21. Und jetzt noch durch 21 teilen und wir erhalten für y 23/21. Die Lösung dieser Aufgabe. Und richtig, auch hier darf y nicht 0 sein, gemäß Definitionsmenge und wie wir sehen ist das eine erlaubte Lösung. Gut, abschließend die dritte und letzte Aufgabe. Hier können wir erkennen, dass wenn wir (z-3)*(z-3) berechnen, also die zweite binomische Formel, kommt dort z²-3*2*z, also 6z, +9 heraus. Das heißt, wenn wir diesen Nenner hier und hier erzeugen wollen, müssen wir diesen Bruch und diesen Bruch mit (z-3) erweitern. Das sieht dann so aus und jetzt können wir, weil ja dieser Term im Nenner, wenn wir das ausmultiplizieren, diesen ergibt, die gesamte Gleichung mit z²-6z+9 multiplizieren und dann fallen alle drei Nenner weg und die Zähler bleiben übrig. Dann noch ausmultiplizieren. Das hier ebenfalls, aber bitte aufpassen, hier steht ein Minus, das heißt wir machen hier eine Addition draus mit +(-2), und multiplizieren jetzt erst aus. Und wir erhalten in der Klammer -2z+6. Und jetzt können wir das wieder auflösen zu Minus. Jetzt fassen wir zusammen und ziehen die 3 auf die rechte Seite und erhalten für z die Lösung 7. Und ihr könnt den Definitionsbereich hier prüfen, z darf nicht 3 sein und hier darf z auch nicht 3 sein, das heißt die 7 ist ein erlaubtes Ergebnis. So viel zu den Bruchgleichungen. Wir hoffen ihr habt viel gelernt und ihr könnt das neue Wissen auch gut anwenden. Auf jeden Fall wünschen wir euch viel Erfolg!



Tags: Bruchgleichungen lösen, Brüche mit Variablen im Nenner, Brüche und Gleichungen, Bruchterme lösen

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