Mathe G21: Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen

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Videos

Wir hatten Zahlenmengen bereits in den vorigen Mathe-Videos kennengelernt: Natürliche Zahlen (1, 2, 3,...), Ganze Zahlen (... -2, -1, 0, 1, 2,...) und Rationale Zahlen (also alle Zahlen, die als Bruch schreibbar sind).

Um nun die Irrationalen Zahlen verstehen zu können, müsst ihr wissen, wie man Gleichungen umstellt und ihr solltet die Lernvideos Potenzen und Wurzeln gesehen haben. Auch müsst ihr wissen, wie sich gerade Zahlen ergeben (und zwar allgemein mit z = 2*k, also zum Beispiel 8 = 2*4). Dann geht es los:

Mathematik-Video: Irrationale Zahlen und Reelle Zahlen

Fragen und Antworten zu Irrationalen Zahlen

Zum Beispiel:
Was sind Rationale und Reelle Zahlen?
Eigenschaften reeller Zahlen?
Reelle Zahlen als Definitionsmenge und Wertebereich?
Warum ergibt eine gerade Zahl quadriert auch eine gerade Zahl?

Lernprogramme

Zur Lektion Irrationale Zahlen gibt es keine Lernprogramme.

Wissen zur Lektion

Merken wir uns:

Irrationale Zahlen
1. sind nicht als Bruch darstellbar
2. haben unendlich viele Nachkommastellen
3. haben Nachkommastellen, die nicht periodisch sind.

Alles klar?! :)

Nachdem ihr das Video gesehen habt, werdet ihr wahrscheinlich verstehen, weshalb ihr in der Schule (wenn ihr eine Lösung für eine Aufgabe mit einer Unbekannten x gefunden habt) häufig schreibt:



Damit sagt ihr ganz einfach, dass sich die Lösung in der Menge aller reeller Zahlen befindet (x ist Element aus R).

Das R ist das Zeichen für die Reellen Zahlen. Sie ergeben sich aus den Rationalen Zahlen und den Irrationalen Zahlen. In der Mengenlehre schreibt man (anstatt Plus ein gebogenes Zeichen):



Reelle Zahlen = Rationale Zahlen + Irrationale Zahlen

Übrigens umfassen die Reellen Zahlen alle Zahlen, die ihr auf einem Zahlenstrahl finden könnt.


Beispiele für Irrationale Zahlen:
- mit 1,41421356...
- Kreiszahl π (Pi) mit 3,14159265...
- Eulersche Zahl e mit 2,71828182...


Nun sollten die Zahlenmengen kein Problem mehr für euch sein,
hier die Übersicht:

ℕ - Natürliche Zahlen
ℤ - Ganze Zahlen
ℚ - Rationale Zahlen (Bruchzahlen)
I - Irrationale Zahlen
ℝ - Reelle Zahlen


Der Nachweis der Irrationalen Zahlen, wie er im Video zu sehen ist, ist übrigens ein zahlentheoretischer Beweis, der indirekt durch Widerspruch geführt wird. Er wurde von dem griechischen Mathematiker Euklid überliefert. Indirekte Beweisführung meint hierbei, dass die Annahme des Gegenteils (dass die Wurzel aus 2 als Bruch a/b darstellbar sei) zu einem Widerspruch führt.

Aufgaben

[demnächst]

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