Mathe G02: Kommutativgesetz + Assoziativgesetz

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In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:

Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 5. - 6. Klasse

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Diese Lektion betrachtet die zwei grundlegenden Rechengesetze der Mathematik: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz. Das Distributivgesetz (das dritte wichtige Rechengesetz) schauen wir uns in der nächsten Lektion an.

Video: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz


Die zwei Rechenregeln Kommutativgesetz: a + b = b + a und a * b = b * a sowie Assoziativgesetz: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) und a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)



Dazugehörige Videos sind für Kunden zugänglich:

  • Distributivgesetz Video
    Distributivgesetz

    Wir schauen uns eine wichtige Rechenregel namens Distributivgesetz an: a * (b + c) = a * b + a * c oder erweitert: a * (b + c + d) = a * b + a * c + a*d

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Wissen zur Lektion


Kommutativ meint das Vertauschen der einzelnen Zahlen. Assoziativ meint das beliebige Verknüpfen (Zusammenrechnen) der Zahlen.

Beide Rechengesetze können für Addition und Multiplikation genutzt werden. Jedoch nicht für Subtraktion und Division!


Kommutativgesetz

Für die Addition: a + b = b + a

Für die Multiplikation: a * b = b * a


Grafische Darstellung von Assoziativ- und Kommutativgesetz

Assoziativgesetz grafisch

Kommutativgesetz der Addition grafisch

Kommutativgesetz der Multiplikation grafisch



Assoziativgesetz

Für die Addition:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

Für die Multiplikation:
a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)


Klammern entfernen
Wichtig: Sofern wir nur Additionen oder nur Multiplikationen in einer Aufgabe haben, dürfen wir vorhandene Klammern entfernen! Ein Beispiel:

3 + (5 + 1 + 9) + 2 = 3 + 5 + 1 + 9 + 2

Es ist hierbei gleichgültig, welche Zahlen wir als erstes zusammenaddieren. An dieser Stelle greift das Assoziativgesetz, bei dem wir beliebig verknüpfen dürfen.

Ein Beispiel für die Multiplikation, bei dem auch einfach die Klammern weggelassen werden können:

5 * (2 * 3 * 6) * 3 = 5 * 2 * 3 * 6 * 3



Kommutativgesetz in der Sprache
Das Kommutativgesetz findet man übrigens auch in den Sprachen wieder. Auf Deutsch sprechen wir zum Beispiel die Zahl 49 als "neun und vierzig". Mathematisch geschrieben ist das: 9 und 40, also 9 + 40. Auf Englisch spricht man hingegen die Zahl 49 als "forty-nine", also 40 + 9. Wie wir sehen, wurde hier das Kommutativgesetz "angewendet" :)



Bonuswissen

1. Ein anschauliches Beispiel zum Kommutativgesetz für die Multiplikation mithilfe des Zerlegens von Zahlen und dem Kommutativgesetz der Addition:

= 3 * 4
= 4 + 4 + 4
= (3+1) + (3+1) + (3+1)
= 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1
= 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1
= 3 + 3 + 3 + 3
= 4 * 3



2. Kommutativgesetz mit drei Zahlen (Variablen)

Addition:

Kommutativgesetz für 3 Elemente (Addition)
Multiplikation:

Kommutativgesetz für 3 Elemente (Multiplikation)



Wenn ihr denkt, die beiden Rechengesetze gut zu beherrschen, dann versucht als nächstes, die Aufgaben zum Kommutativ- und Assoziativgesetz zu lösen!


Lernprogramme


Zu den beiden Rechengesetzen haben wir noch keine Lernprogramme entwickelt.

Habt ihr einen Wunsch oder eine Idee, dann schreibt sie uns!


Übungsaufgaben


A. Berechne folgende Aufgaben vorteilhaft mit Hilfe des Kommutativ- und des Assoziativgesetzes (im Kopf, also ohne Taschenrechner):
1. 74 + 88 + 12 =
2. 67 + 192 + 8 =
3. 15 * 5 * 2 =
4. 9 * 5 * 20 =
5. 19 + 3 * 7 =
6. 13 * 2 + 4 =
7. 45 * 2 - 19 =
8. 45 - 2 * 19 =
9. 19 + 26 + 11 + 4 + 10 =
10. 25 + 19 + 5 - 9 + 10 =


B. Löse die nachstehenden, gemischten Textaufgaben:
1. Mit welchem der beiden Rechengesetze kannst Du 3 + 5 umdrehen?
2. Kannst Du bei der Aufgabe 3 + (9 + 4) das Assoziativgesetz anwenden?
3. Kannst Du bei der Aufgabe 3 + (9 + 4) das Kommutativgesetz anwenden?
4. Kannst Du bei der Aufgabe 3 + 9 + 4 das Assoziativgesetz anwenden?
5. Hat 3 * (4 + 2) den gleichen Wert wie 6 * 3?
6. Hat 5 * 7 * 9 den gleichen Wert wie 5 * 7 + 9?
7. Schreibe die Multiplikation 3 * 5 als Addition.
8. Schreibe die Multiplikation 3 * (3+2) als Addition.


C. Zusatzaufgaben
1. Hast Du eine Idee, wie man das (2+1) * (3+2) als Addition schreiben könnte.
2. Kannst Du das Assoziativgesetz auch anwenden, wenn Klammern gesetzt sind?
3. Kannst Du das Kommutativgesetz anwenden, wenn Klammern gesetzt sind? Als Beispiel (3 * 5) + 6?
4. "Tom hat gestern 5 Euro bekommen, heute 2 Euro und morgen 9 Euro. Wie viel Geld hat er nun?" ... Wenn Du nun das Kommutativgesetz auf diese Mini-Sachaufgabe anwendest, wie könntest Du sie anders formulieren? (Denke daran, es muss immer noch das gleiche Ergebnis herauskommen.)


Alle Lösungen im Lernzugang





Tags: Video, Rechengesetze, Kommutativgesetz und Assoziativgesetz
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