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Die Proportionalität spielt eine wesentliche Rolle in der Mathematik und im Alltag. Steigt eine Größe, dann steigt auch eine andere. Als Beispiel: Je mehr ihr einkauft, desto mehr müsst ihr bezahlen. Details gibt es im folgenden Video.
Mathematik Video: Proportionalität und Dreisatz
Proportionalität (Verhältnis, Anteil, Zuordnung): Steigt ein Wert so steigt auch ein anderer, sinkt ein Wert so sinkt auch ein anderer. Dreisatz: Unbekannten Wert aus 3 gegebenen Werten ermitteln bzw. in 3 Sätzen lösen. (österr. "Schlussrechnung").
Fragen und Antworten zur Proportionalität
Zum Beispiel:
Wieviel Gramm Wasser enthalten beide Bananen zusammen?
Wie ergibt sich der Proportionalitätsfaktor?
5 Archäologen, 4 Tage, 100 Liter Wasser - Wie Dreisatz anwenden?
Lernprogramme Proportionalität
Proportionalität und Dreisatz
Einfach die Stückzahl und den Preis festlegen, der Proportionalitätsfaktor (Preis je Stück) wird errechnet. Wählt danach unten eine neue Bezugsgröße (Stückzahl).
Wissen zur Lektion
Für proportional schreibt man:
Bei unserem Beispiel also: 1 Schokoriegel ~ 1,50 Euro
Erhöht sich die Stückzahl, so erhöht sich der Preis entsprechend!
Den Proportionalitätsfaktor erhaltet ihr, wenn ihr die eine Größe durch die andere teilt. Dabei ist es egal, welche ihr als Divisor nutzt, es ergibt sich jeweils ein konstantes Verhältnis. Für unser Beispiel:
2 Schokoriegel : 3 Euro = 0.6667 Schokoriegel/Euro
4 Schokoriegel : 6 Euro = 0.6667 Schokoriegel/Euro
oder
3 Euro : 2 Schokoriegel = 1,50 Euro/Schokoriegel
6 Euro : 4 Schokoriegel = 1,50 Euro/Schokoriegel
Schreibt die Divisionen in Form von Brüchen, dann ist der Zusammenhang leichter zu erkennen (Stichwort Kürzen/Erweitern).
Aufgabe mit Dreisatz lösen:
1. Verhältnis aufstellen.
2. Unbekannten Wert ins Verhältnis setzen.
3. Gesamte Gleichung aufstellen und lösen.
Beispiel-Aufgabe:
12 Menschen trinken pro Tag 22,8 Liter Wasser.
Wie viel trinken 34 Menschen?
1. Verhältnis: 12 Menschen = 22,8 Liter
2. Verhältnis für unbekannten Wert: 34 Menschen = x Liter
3. Gesamte Gleichung: 12 Menschen : 22,8 Liter = 34 Menschen : x Liter
oder mittels Kehrwert: 22,8 Liter : 12 Menschen = x Liter : 34 Menschen
Jetzt noch die Gleichung lösen, wir erhalten: x = 64,6 Liter
Der Proportionalitätsfaktor ist übrigens:
22,8 Liter : 12 Menschen = 1,9 Liter/Mensch
64,6 Liter : 34 Menschen = 1,9 Liter/Mensch
Ergänzung
Im Video sagten wir, dass der Begriff "Dreisatz" verschieden gedeutet werden kann. Zum einen als drei gegebene Werte, zum anderen als Lösen in drei Sätzen, wobei wir die drei Sätze wählten als 1. Aufstellen einer Relation, 2. Herunterrechnen auf eine Einheit, 3. Heraufrechnen auf die gesuchte Größe. In einigen Lehrbüchern wird der Dreisatz jedoch wie folgt beschrieben:
1. Bedingungssatz (gegeben: 75 kg = 50 Stück)
2. Fragesatz (gesucht: 102 kg = x Stück)
3. Schlusssatz (gelöst: x = 50:75 * 102 = 68 Stück)
* Man spricht übrigens von Zweisatz, wenn nur zwei Größen gegeben sind.
Also 1 Stück kostet 3 Euro. Wie viel kosten 10 Stück? Dann müsst ihr einfach 3 Euro x 10 Stück rechnen. Beim Dreisatz hat man den Preis für 1 Stück jedoch nicht gegeben!
Aufgaben
Teste hier dein Wissen zum Thema Proportionalität und zum Dreisatz!
Schreibe bei allen Aufgaben unbedingt den Lösungsweg auf (also wie in der Schule ☺).
A. Aufgaben zur Proportionalität: Ermittelt die gesuchte Größe aus den vorliegenden Angaben!
1. Wir wollen 5 Liter Wandfarbe kaufen. 1 Liter ist mit 2,99 Euro ausgepreist. Wie viel kosten dann die 5 Liter.
2. Fünf Bleistifte kosten 1,70 Euro. Wie viel würden wir für 50 Bleistifte bezahlen?
3. Je Schüler werden 2 blaue Kugelschreiber (3,80 Euro) und 2 rote Kugelschreiber (4,40 Euro) benötigt. Wie hoch sind die Kosten bei 20 Schülern?
4. Franks Vater tankt 50 Liter Benzin für 77,50 Euro. Wie viel hätte er zahlen müssen, wenn nur 40 Liter getankt worden wären.
5. Unser Drucker schafft 320 Seiten in 7 Minuten. Wie viele Seiten schafft er in 8 Minuten?
6. Ein Gepard rennt 100 Meter in 6,19 Sekunden. Wie lange braucht er (bei dieser Geschwindigkeit), um 180 Meter zu bewältigen.
7. Das digitale Tacho eines Radfahrers zeigt nach der Sommersaison (4 Monate) an, dass er 3.840 Kilometer gefahren ist. Wie viele Kilometer ist er durchschnittlich pro Monat gefahren?
8. Du siehst ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 5 cm und b = 10 cm. Um welchen Faktor vergrößert sich die Fläche, wenn du beide Seiten verdoppelst?
B. Schwierigere Aufgaben zur Proportionalität: Bei den folgenden Aufgaben solltet ihr etwas nachdenken, bevor ihr sie angeht und löst.
1. Bei einem Spiel müssen 4 rote und 6 blaue Kugeln verdeckt aus einem Sack gezogen werden. Die Chance, eine rote Kugel zu ziehen, liegt bei 4 zu 10 und die Chance auf eine blaue Kugel liegt bei 6 zu 10. Wenn wir die Anzahl der roten Kugeln verdoppeln, verdoppelt sich dann auch die Chance, diese zu ziehen?
2. Um ein Haus zu bauen, benötigen 10 Bauarbeiter 30 Tage. Wie viele Tage brauchen doppelt so viele Arbeiter?
3. Ein Vulkan stößt 15 Tage lang heiße Lava aus, es entstehen 22 Tonnen neues Gestein. Wir wissen, dass am ersten Tag nur 1 Tonne Lava ausgestoßen wurde, sich jedoch der Ausstoß danach jeden zweiten Tag um 3 Tonnen erhöhte (also am 3., 5., 7. Tag usw.). Wenn der Vulkan noch 6 weitere Tage aktiv gewesen wäre, wie viel Tonnen Gestein hätte er dann insgesamt ausgespuckt?
4. Einstein hat die Formel E = m*c² entwickelt. Sie besagt, dass Energie proportional zur Masse ist. Das heißt, verdoppeln wir die Masse, so verdoppelt sich auch deren Energie. Wenn wir also ein Objekt von 80 kg Masse nehmen und die Masse auf 120 kg erhöhen, wie verändert sich dann deren Energie?
C. Löst die Aufgaben mit Hilfe von Brüchen! Wie wir im Video gezeigt hatten, kann man Verhältnisse auch mit Hilfe von Brüchen aufstellen. Versucht es bei den folgenden Aufgaben:
1. Jeden Tag kauft Herr Kaufmann 8 Brötchen zum Frühstück. Wie viele Brötchen kauft er demnach in 4 Wochen?
2. Der Flug geht 12 Stunden. Nach 4 Stunden wurden 1.800 km zurückgelegt. Wie lang ist der gesamte Flug?
3. Schulstress kann krank machen. Im Schnitt sind 5 von 30 Schülern überdurchschnittlich gestresst und werden eher krank als andere. Eine Schule hat 552 Schüler, wie viele davon sind überdurchschnittlich gestresst?
4. Die Angestellte im Callcenter nimmt pro Stunde durchschnittlich 12 Anrufe an. Wie viele Telefonate führt sie an einem 8-stündigen Arbeitstag?
Schreibe bei allen Aufgaben unbedingt den Lösungsweg auf (also wie in der Schule ☺).
A. Aufgaben zur Proportionalität: Ermittelt die gesuchte Größe aus den vorliegenden Angaben!
1. Wir wollen 5 Liter Wandfarbe kaufen. 1 Liter ist mit 2,99 Euro ausgepreist. Wie viel kosten dann die 5 Liter.
2. Fünf Bleistifte kosten 1,70 Euro. Wie viel würden wir für 50 Bleistifte bezahlen?
3. Je Schüler werden 2 blaue Kugelschreiber (3,80 Euro) und 2 rote Kugelschreiber (4,40 Euro) benötigt. Wie hoch sind die Kosten bei 20 Schülern?
4. Franks Vater tankt 50 Liter Benzin für 77,50 Euro. Wie viel hätte er zahlen müssen, wenn nur 40 Liter getankt worden wären.
5. Unser Drucker schafft 320 Seiten in 7 Minuten. Wie viele Seiten schafft er in 8 Minuten?
6. Ein Gepard rennt 100 Meter in 6,19 Sekunden. Wie lange braucht er (bei dieser Geschwindigkeit), um 180 Meter zu bewältigen.
7. Das digitale Tacho eines Radfahrers zeigt nach der Sommersaison (4 Monate) an, dass er 3.840 Kilometer gefahren ist. Wie viele Kilometer ist er durchschnittlich pro Monat gefahren?
8. Du siehst ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 5 cm und b = 10 cm. Um welchen Faktor vergrößert sich die Fläche, wenn du beide Seiten verdoppelst?
B. Schwierigere Aufgaben zur Proportionalität: Bei den folgenden Aufgaben solltet ihr etwas nachdenken, bevor ihr sie angeht und löst.
1. Bei einem Spiel müssen 4 rote und 6 blaue Kugeln verdeckt aus einem Sack gezogen werden. Die Chance, eine rote Kugel zu ziehen, liegt bei 4 zu 10 und die Chance auf eine blaue Kugel liegt bei 6 zu 10. Wenn wir die Anzahl der roten Kugeln verdoppeln, verdoppelt sich dann auch die Chance, diese zu ziehen?
2. Um ein Haus zu bauen, benötigen 10 Bauarbeiter 30 Tage. Wie viele Tage brauchen doppelt so viele Arbeiter?
3. Ein Vulkan stößt 15 Tage lang heiße Lava aus, es entstehen 22 Tonnen neues Gestein. Wir wissen, dass am ersten Tag nur 1 Tonne Lava ausgestoßen wurde, sich jedoch der Ausstoß danach jeden zweiten Tag um 3 Tonnen erhöhte (also am 3., 5., 7. Tag usw.). Wenn der Vulkan noch 6 weitere Tage aktiv gewesen wäre, wie viel Tonnen Gestein hätte er dann insgesamt ausgespuckt?
4. Einstein hat die Formel E = m*c² entwickelt. Sie besagt, dass Energie proportional zur Masse ist. Das heißt, verdoppeln wir die Masse, so verdoppelt sich auch deren Energie. Wenn wir also ein Objekt von 80 kg Masse nehmen und die Masse auf 120 kg erhöhen, wie verändert sich dann deren Energie?
C. Löst die Aufgaben mit Hilfe von Brüchen! Wie wir im Video gezeigt hatten, kann man Verhältnisse auch mit Hilfe von Brüchen aufstellen. Versucht es bei den folgenden Aufgaben:
1. Jeden Tag kauft Herr Kaufmann 8 Brötchen zum Frühstück. Wie viele Brötchen kauft er demnach in 4 Wochen?
2. Der Flug geht 12 Stunden. Nach 4 Stunden wurden 1.800 km zurückgelegt. Wie lang ist der gesamte Flug?
3. Schulstress kann krank machen. Im Schnitt sind 5 von 30 Schülern überdurchschnittlich gestresst und werden eher krank als andere. Eine Schule hat 552 Schüler, wie viele davon sind überdurchschnittlich gestresst?
4. Die Angestellte im Callcenter nimmt pro Stunde durchschnittlich 12 Anrufe an. Wie viele Telefonate führt sie an einem 8-stündigen Arbeitstag?
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