G12: Terme, Termumformung, Gleichungen

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In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:

Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 7. Klasse

Mathe-Videos

Stell dir vor, du stehst vorne an der Tafel (mündliche Prüfung) und der Mathelehrer fragt dich: "Was ist eigentlich ein Term?" ... wenn du diese Frage nicht beantworten kannst, so richtet sich diese Lektion an dich!

Falls du dich schon immer gefragt hast, warum man eigentlich Gleichungen umstellen kann und schließlich ein Ergebnis mit "x = Zahl" herausbekommt, so geben dir die Videos eine Antwort darauf.

Auch solltest du wissen, was mit "Äquivalenzumformung" gemeint ist. Wir wissen, dass der Begriff nicht besonders geläufig ist, doch Begriffe gehören ebenfalls zu den mathematischen Grundkenntnissen.


1. Video: Terme, Termumformung, Gleichungen umstellen


Was ist ein Term, Umformen von Termen, Gleichungen umstellen (Äquivalenzumformung)



Dazugehörige Videos sind für Kunden zugänglich:




Wissen zur Lektion


Term = sinnvoller mathematischer Ausdruck

Termumformung
Die Termumformung ist die Veränderung eines Terms von einer Form zu einer anderen, wobei sie den gleichen Sinn bzw. Wahrheitsgehalt haben muss. Am häufigsten wird die Termumformung mit Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz in Verbindung gebracht. Aber auch gerne mit den Binomischen Formeln.

Äquivalenzumformung
Die Äquivalenzumformung ist die Veränderung von Linksterm und Rechtsterm einer Gleichung (also das Zeug links vom Istgleich-Zeichen und das rechts davon) mit derselben mathematischen Operation (z. B. plus, minus, mal, durch ... eine Zahl). Dabei verändert sich zwar der Wert auf beiden Seiten der Gleichung, der Wert für das darin enthaltene x jedoch nicht!

2*x = 40
x = 20

2*x = 40
// verdoppeln wir beide Seiten mit *2
4*x = 80
x = 20

x behält den Wert 20, sofern wir auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Operation durchführen.

Man sagt übrigens auch: Die beiden Gleichungen sind zueinander äquivalent, und würde schreiben:
2*x = 40 ⇔ 4*x = 80

Okay, nachdem du die Videos gesehen und das hier gelesen hast, sollte dir einiges klarer geworden sein ;)


PS: Oft werden in der Mathematik einfach nur Regeln angewendet, ohne verstanden zu haben, warum sie überhaupt funktionieren. Dies gilt übrigens nicht nur für komplexe Sachverhalte, sondern auch für augenscheinlich einfache Dinge. Lasst uns das ändern!

Mathe-Programme


Ein Programm, mit dem ihr beliebige Gleichungen lösen könnt, befindet sich in Entwicklung!

Wenn ihr die Lösung einer Gleichung sucht, so könnt ihr diese bei wolframalpha.com eingeben und erhaltet dort die Antwort.

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben


Teste hier dein Wissen zu den Termen, deren Umformung und zum Umstellen von Gleichungen! Die Berechnungen sind ohne Taschenrechner auszuführen. Viel Spaß dabei!

A. Term oder kein Term?

1. 2
2. 2+5
3. 2*
4. 2*(-1)
5. +3+5
6. --+4
7. 1*(3+4)
8. *(3+4)



B. Vereinfache die Terme (forme sie um und schreibe sie soweit möglich kürzer) und benenne die Regel, die du jeweils angewendet hast:

1. 3+3+3+3 =
2. x+x+x+x =
3. 3+4+3+4+3+4 =
4. x+y+x+y+x+y =
5. 3*(5 + x) =
6. (2 + x)*x =
7. (3 + x)*(2 + x) =
8. (a + x)*(b + x) =



C. Rechne die Gleichungen aus, d. h. finde den Wert für x!

1. x+x+x = 9
2. 4*x = 48
3. 4*x + 14 = 50
4. x*(-2) + x = 3x + 6
5. 9x - 9 = 81
6. 2*(3x -10) = x + 1
7. 88*x = 15*x
8. x = x
9. (3 + 2*x):4 = (3*x - 2):4
10. (37-x):2 = 12+x



D. Wende dein Wissen zum Umstellen von Gleichungen und dem Suchen der Unbekannten x auf die folgenden Bruchterme an. Du solltest vorher die Lektion Brüche vollständig gesehen haben:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.


Alle Lösungen im Lernzugang



Untertitel

Sucht ihr nach einer bestimmten Stelle in den Videos? Dann sucht hier direkt in den Untertiteln.

Video Teil 1: Terme umformen, Gleichungen umstellen


Hallo liebe Schüler dieses Video behandelt Terme, Termumformungen und Gleichungen umstellen und das richtet sich an Beginner, ist aber auch gut als Wiederholung. Bevor wir richtig anfangen können, müssen wir natürlich wissen, was ein Term ist. Und ein Term ist ein Ausdruck in der Mathematik. Jetzt wisst ihr vielleicht nicht, was meint er denn jetzt mit Ausdruck? Ein Ausdruck wäre zum Beispiel 4 plus 5. Das ist ein Ausdruck. Das macht Sinn, denn 4 plus 5 sind 9. Oder wir könnten auch sagen 1 mal 2. Das macht auch Sinn. Ist gleich 2. Das ist ein Term. Macht Sinn. Was kein Term wäre, wäre 1 plus Klammer auf. Denn, ja, hier müsste es eigentlich weitergehen. Ist also nicht ganz logisch. Hier fehlt irgendetwas. Also ist das kein Term. Die 1 alleine ist auch ein Term. Denn sie gibt ja einen Zahlenwert wieder. Okay, merkt euch das. Terme sind Ausdrücke in der Mathematik. Was meint denn jetzt Termumformung? Also, wenn wir eine Termumformung anwenden wollen. Nehmen wir uns mal ein Beispiel 5 mal (2 plus 7), dann könnten wir jetzt entweder 5 mal… 2 plus 7 zusammenfassen zu 9. Das wäre eigentlich schon eine Termumformung hier. Denn aus 2 plus 7 wurde 9. Und wir könnten dieses Distributivgesetz anwenden, das ist Inhalt einer anderen Lektion, und könnten jetzt schreiben; 5 mal 2 plus 5 mal 7. So haben wir den Term umgeformt und nochmals anders dargestellt. 5 mal 2 sind 10 und 5 mal 7 sind 35. Und 10 plus 35 sind 45. Okay. Also wir formen Ausdrücke in der Mathematik zu anderen Ausdrücken um. Also eine Termumformung. Ein berühmtes Beispiel sind übrigens die binomischen Formeln. Doch die betrachten wir uns in einer anderen Lektion. Was ihr am häufigsten jedoch machen werdet, das ist die sogenannte Äquivalenzumformung. Hört sich erstmal schwierig an, meint jedoch einfach nur „Gleichungen umformen“. Mehr nicht! Und dieses Wort „Äquivalenz“ kommt aus dem Lateinischen. „aequus“ für „gleich“ und „valere“ der „Wert“. Also der „gleiche Wert“. Schauen wir uns an, was denn das hier meint. Zuerst die Frage, wie kommt denn eine Gleichung zustande. Schreiben wir einfach mal: 3 plus 2 ist 5. Das kann jeder von euch. Wenn wir jetzt jedoch eine Aufgabe haben, wo hier steht 3 plus x gleich 5. Und würden das hier oben nicht sehen können, dann müsstet ihr euch jetzt entscheiden „Hmm, was könnte x wohl sein?“. Natürlich, ihr habt das gerade gesehen. x wird 2 sein. Wir schreiben das jedoch etwas anders. Wir schreiben dann als Ergebnis x ist gleich 2. Das heißt, wir wissen, x soll 2 sein. Und überall wo x steht, also an der Stelle, wäre die Lösung 2, damit diese Gleichung funktioniert. Und dieses x. Diesen Platzhalter den wir für diese Zahl benutzt haben, nennt man in der Mathematik „Variable“. Und diese Variable an sich ist übrigens auch ein Term. Und ja, wie der Name schon sagt, ein „variabler“ Wert kann da hineingesteckt werden oder wir können auch sagen „beliebiger“ Wert oder „irgendein“ Wert. Merkt euch: x ist irgendeine Zahl, die wir herausbekommen sollen. Okay, jetzt gehen wir noch einen Schritt weiter und sagen; wir haben 3 plus x gleich 5 stehen und die 5 können wir auch schreiben als 3 plus 2. Das müsste euch klar sein! Und die Frage ist, wir wollen ja dazu stehen haben, zum Schluss, x gleich 2. Das heißt, wie komme ich denn dazu, dass hier beim „ist gleich“, das ja beide Seiten voneinander trennt, auf der rechten Seite, nur die 2 übrig bleibt? Wie bekomme ich diese 3 da weg? Und da können wir die Matheoperationen nehmen, das heißt „Plus“, „Minus“, „Mal“ und „Durch“ und hier versuchen etwas umzuformen. Wenn da 3 plus 2 steht, was kann man da am besten machen? Natürlich, man zieht 3 ab, also die hier kommt weg. Und ich darf die jetzt nicht einfach so wegnehmen, ich muss hier hinschreiben „Minus 3“ und diese minus 3 führt dazu, dass also 3 plus 2 minus 3, dann wieder 2 ergibt. Nur, ihr seht schon was auf der linken Seite steht ja 3 plus x. Und hier soll ja nur x stehen bleiben. Ja, der Groschen fällt, wir müssen hier auch die 3 wegbekommen. Das heißt diese minus 3 muss auf beiden Seiten gerechnet werden! Denn 3 plus x minus 3, ist natürlich wieder x. Das heißt für hier oben, wir schreiben, wenn wir diese Aufgabe lösen wollen, 3 plus x gleich 5, einen Querstrich und die minus 3. Und wir wissen bei diesem Querstrich „Hey, das müssen wir auf beiden Seiten machen!“. Jetzt schreiben wir es mal lang hin. 3 plus x minus 3 auf der linken Seite ist gleich 5 minus 3 auf der rechten Seite. Ihr wisst vielleicht, dass wir 3 plus x auch umdrehen können zu x plus 3. Also die beiden tauschen ihre Plätze. Und x plus 3 minus 3 ergibt schließlich wieder x. Weil die beiden hier heben sich auf; zu Null. Und 5 minus 3 auf der rechten Seite ist 2. Und da haben wir wieder unsere Lösung x gleich 2. Um jetzt weitere Umformungen zu testen, vereinfachen wir unser Beispiel. Machen wir aus 3 plus 2 5. Und 5 gleich 5. Jetzt steht ja der gleiche Wert auf beiden Seiten, also „Äquivalenz“. Und das benutzen wir um die Umformung zu testen. Wenn wir also auf beiden Seiten eine Operation machen mit dem Beispiel plus 2, steht da links 5 plus 2 und rechts 5 plus 2 und das ergibt auf der rechten Seite 7 und auf der linken Seite auch 7. Wunderbar. Stimmt. Beide Seiten bleiben äquivalent bzw. gleich. Wenn wir jetzt mal minus 2 machen würden, würde hier unten stehen 5 minus 2 und 5 minus 2. 5 minus 2 sind 3 und 5 minus 2 sind 3. Klappt also genauso! Wenn wir jetzt auf beiden Seiten mal 2 machen würden, hätten wir 5 mal 2 und hier auch 5 mal 2. Und das wäre 10 gleich 10. Und rechnen wir jetzt mal an dieser Stelle „durch 2“, dann steht hier 10 durch 2 gleich 10 durch 2. Und das ist ja 5 gleich 5. So habt ihr also gesehen, dass die Verhältnisse beider Seiten zueinander gleich bleiben, wenn wir die gleiche Rechnung auf beiden Seiten durchführen.
An dieser Stelle ein Hinweis: Wenn ihr so etwas seht wie 2x gleich irgendeine Zahl. 16. Dann ist dieses 2x kurz geschrieben, denn eigentlich müsste man schreiben „2 mal x“. Doch da Mathematiker manchmal wenig Zeit haben, hat man sich angewöhnt einfach 2x zu schreiben. Und wenn ihr das jetzt hier lösen solltet. Mit 2 mal x gleich 16, also 2 mal eine Zahl, die wir noch nicht kennen ist 16. Dann wird würden die, die die Gleichung nicht umstellen können, jetzt hier einsetzen. 2 mal 1 klappt nicht. Klappt nicht! 6, klappt nicht! Klappt nicht usw., bis sie irgendwann mal zu 8 kommen. Und 2 mal 8 sind 16. Gut! Ihr seid natürlich klüger ab sofort und könnt die Gleichung umformen. Und ihr wisst, dass wir hier unten rausbekommen wollen: x ist gleich eine Zahl. Und jetzt ist die Frage, wie kommt man von 2 mal x auf x? Und da macht ihr das folgende: Ihr wisst, dass wir, wenn wir 2 mal eine Zahl haben, also 2 mal 5 zum Beispiel, das ja 10 ergibt und dann diese Zahl wieder durch 2 dividieren, wieder 5 herauskommt. 2 mal 5 ist gleich 10. Und 10 durch 2 ist gleich wieder 5. Und wenn wir jetzt die 10 hier, als 2 mal 5 wieder schreiben, seht ihr, dass hier steht: 2 mal 5 durch 2 ist gleich die 5 wieder. 2 mal x durch 2 ist gleich x.
Ja warum erzähle ich so viel? Ganz einfach, das ist einer der häufigsten Fehler für Anfänger, die nicht wissen was sie dann hier machen sollen. Also 2 mal x steht hier. Wir rechnen durch 2. 2 mal x durch 2 ist wieder x. Und 16 durch 2, ist, richtig, kann man im Kopf machen 8. Wunderbar. Und jetzt können wir die 8 hier einsetzen zur Probe: 2 mal 8 ist 16. Stimmt!


Video Teil 2: Beispielaufgaben und Lösungsmöglichkeiten für x


Nochmals zur Wiederholung aus dem ersten Teil. Wir hatten gesagt Äquivalenz ist „gleicher Wert“. Also wäre zum Beispiel 4 ist gleich 4, da haben wir auf der linken Seite die 4 und auf der rechten Seite die 4, man sagt hier übrigens auch „linker Term“ und hier „rechter Term“. Und jetzt können wir uns denken, jemand ist so böse und versteckt diesen Wert hier und verändert ihn auch noch, in dem er ihn zum Beispiel auch noch verdoppelt. Und dann verdoppelt er ihn nicht nur, er knallt auch noch 3 drauf. Also steht dann hier 2 mal 4 plus 3. Und natürlich ist der Typ, der uns hier veräppeln möchte auch noch frech und rechnet das hier aus: 2 mal 4 sind 8 und 8 plus 3 sind 11. Also der Lehrer gibt euch die Aufgabe „2x plus 3 ist gleich 11“. Und auf beiden Seiten steht nun etwas anderes, obwohl wir doch hier oben bei 4 gleich 4 angefangen hatten, doch trotzdem ist der gleiche Wert, also 4, auf beiden Seiten enthalten.
Gucken wir uns noch eine Aufgabe dazu an, wie sie euch im Unterricht erwarten könnte. Sie könnte lauten: Eine Zahl wird verdoppelt und um 3 erhöht, als Ergebnis erhält man 15. Gut. Los geht’s! Kopieren wir das ganze Ding hier runter, dann sieht man es besser.
Eine Zahl, offensichtlich eine beliebige Zahl, und wir hatten vorher gesagt beliebig ist x. Eine Zahl x wird verdoppelt. Und verdoppeln ist natürlich mal 2. Und um 3 erhöht. Und bei „3 erhöht“ müsst ihr wissen, wenn ihr auf einem Thermometer 20°C habt und die Temperatur erhöht sich um 3°C, 23, habt ihr plus 3 gerechnet. Und das Ergebnis, Ergebnis ist immer „gleich“, erhält man 15. So, da ist schon das ganze Ding. x mal 2 plus 3 gleich 15. Jetzt benutzen wir das, was wir gelernt haben. Wir formen die Gleichung um. Wir wollen ja am Schluss dazu stehen haben, unser goldenes Ziel, x gleich irgendetwas. Jetzt steht hier x mal 2 plus 3. Und die plus 3 fällt ins Auge, die wollen wir da weg haben. Wie machen wir das? Natürlich, minus 3 rechnen. Hatten wir ja vorhin gesagt. Dann bleibt das hier so stehen und die minus 3 dazu. Plus 3 minus 3 ist 0. Fällt also weg. Und hier hinten haben wir „ist gleich 15“. Und wir hatten vorhin gesagt, wir müssen es auf beiden Seiten machen, also kommt hier noch die minus 3 hin. Ganz wichtig! Immer auf beiden Seiten das Ding hier rechnen. Gut! Jetzt steht hier x mal 2 gleich 15 minus 3. 15 minus 3, ganz einfach, 12. Wie bekommen wir jetzt die mal 2 weg? Das hatten wir auch schon gesagt, rechnen wir einfach durch 2. Also genau das entgegengesetzte, wenn man so will. x mal 2 durch 2, bleibt natürlich nur noch x übrig. Ist gleich 12 und natürlich auf beiden Seiten durch 2. Und 12 durch 2, geht auch noch im Kopf, 6. Oh, da steht ja schon die Lösung: x ist gleich 6. Und setzen wir jetzt den Spaß mal ein. Hier oben, nehmen wir mal unsere Gleichung hier weg. Jetzt ist x nicht mehr x, sondern wird konkret, also 6. 6 mal 2 sind 12. Plus 3 gleich 15. Und 12 plus 3, das kriegen wir auch noch hin, ist 15. Also 15 gleich 15. Die Gleichung ist auf beiden Seiten gleich, bzw. äquivalent. Und die Zahl die wir suchten steht hier unten. Das heißt wir haben alles richtig gemacht.
Und gucken wir uns noch eine Anwendungsaufgabe an. Wir haben dieses tolle Rechteck auf der rechten Seite. Und die eine Seite vom Rechteck ist 2 mal irgendeine Zahl lang. Und die untere Seite ist nur 1 mal diese Zahl lang. Und der Umfang ist uns gegeben mit: Umfang, können wir auch klein u schreiben ist gleich 48 cm. Okay, was machen wir jetzt? Wir wissen, dass sich der Umfang u ergibt aus all den Seiten. Eins, zwei, drei, vier. Da müsst ihr natürlich sehen, dass wenn wir diese Seite nehmen, die ja 2x ist, dass sie sich auch auf der rechten Seite wiederfindet. Und die rechte Seite ja genauso lang ist wie diese, also müssen wir da auch nochmals 2x heranschreiben. Und außerdem, die Strecke hier unten, die x lang ist, die findet sich natürlich auch oben wieder. An dieser Stelle. Und richtig, wie lang ist die? Die ist auch wieder x lang. Umfang sagten wir ergibt sich aus allen Seiten: Das wäre hier also 2x, schreiben wir das hier hin. 2 mal x. Plus, die Seite hier unten, also x, dann die rechte Seite. Das sind nochmals 2x und dann noch die Seite hier oben. Die fehlt auch noch, also nochmals x. Okay, das ist schon eine tolle Formel. Und jetzt dürft ihr euch einmal die x als Äpfel vorstellen. Jetzt haben wir einen Apfel. Schreiben wir eine 1 davor, dann sieht man es besser. 1mal x. Dann ist hier drüben auch nochmal ein Apfel. Hier sind sogar 2 Äpfel. Und hier sind auch 2 Äpfel. Das heißt wir zählen alle Äpfel mal zusammen. Zwei, dritter Apfel, vier, fünf – 6 Äpfel! Schreiben wir das hin. u gleich 6 Äpfel. Und jetzt sagen wir wieder x. Kürzer! u gleich 6x. Okay, wie macht man jetzt weiter? Schreiben wir jetzt ausnahmsweise das Mal, dann sieht man es besser. Und hier oben steht ja, u gleich 48 cm. Und dann dürfen wir überall wo u steht, weil hier steht ja u ist gleich so und so viel, dann dürfen wir überall wo u steht 48 cm einsetzen. Und das machen wir hier unten einmal. 48 cm. Können wir auch hier machen; 48 cm. Okay, wenn jetzt hier drüben steht 6 mal x, oder x mal 6, was machen wir da? Das wisst ihr jetzt schon, wir rechnen durch 6. Denn wir wollen ja wieder, hier unten ist gleich x so stehen haben. Und davor natürlich noch einen Wert. Also auf beiden Seiten jetzt durch 6. Links 48 durch 6. cm nicht vergessen! Ist gleich 6 mal x durch 6. Und jetzt drehe ich das hier gerade mal um, dann sieht man es wieder besser. Mal 6 durch 6 fällt weg. Und 48 durch 6 cm. Na, wer ist schnell im Kopf? 48 durch 6, richtig, da kommt 8 heraus. 8 cm. Und das ist die Lösung. 8 cm gleich x. Und ihr dürft es natürlich auch umdrehen, wenn es auch besser gefällt: x gleich 8 cm. Die Richtung, auf welche Seite man das schreibt ist übrigens egal. Jo ein Test wäre jetzt, in dem wir das einfach mal einsetzen. Jetzt wird also jedes x hier in unserer Graphik zu einer 8. Und zwar 8 cm. Tragen wir das mal ein. Hier oben. Dann hier rechts; 2 mal x, also 2 mal 8 cm. Hier unten x, also 8 cm. Und hier links, 2x, also ganz einfach 2 mal 8 cm. Jetzt noch zusammenrechnen. 2 mal 8 sind offensichtlich 16. Hier rechts das gleiche. Und jetzt können wir rechnen. 16 plus 8 sind 24. Plus 16 sind 40. Plus 8 sind 48. Das ist das, was wir herausbekommen wollten.
Und wenn wir jetzt nochmals unsere Formel herausnehmen, die wir aufgeschrieben hatten, dann können wir natürlich auch für jedes x die 8 mal einsetzen. Das heißt überall wo x steht kommt eine „mal 8“ hin. Hier mal 8. Hier mal 8. Hier mal 8. Und hier mal 8. Und dann kann man genauso gut ausrechnen: 2 mal 8 sind 16. 1 mal 8 sind 8. 2 mal 8 sind 16. 1 mal 8 sind 8. 16 plus 8 24. 8 plus 16 24. 24 plus 24 48. cm nicht vergessen! Beide Seiten sind gleich. Also war unser x, das wir ja mit 8 angegeben hatten, absolut richtig!
Gut wir sind fast am Ende unserer Lektion und jetzt noch ein abschließender Hinweis. Es könnte auch mal sein, dass ihr für x kein Ergebnis erhaltet. Schauen wir uns ein kleines Beispiel an: x plus 1 ist gleich x. Mit dem Wissen, was ihr jetzt habt, würdet ihr zum Beispiel auf beiden Seite minus x rechnen um diese Gleichung zu lösen. Dann würde hier stehen, x minus x plus 1 ist gleich x minus x. x minus x hier drüben ist 0. Die x minus x hier links ist auch 0. Was stellen wir fest? 0 plus 1 ist 1. Und hier steht jetzt 1 gleich 0. Doch 1 ist ungleich 0. Mit anderen Worten: Für x gibt es keine Lösung. Und man schreibt dann: x gleich n.d. Das heißt „nicht definiert“. Oder man verwendet das Zeichen für die leere Menge. Das ist dieser durchgestrichene Kreis. x hat keine Lösung.
Andererseits könnte es allerdings auch passieren, dass ihr für x unendlich viele Ergebnisse erhaltet. Zum Beispiel bei dem Fall x ist gleich x. Denn es ist jetzt egal welche Zahl ihr hier einsetzt, die Zahl kommt immer raus. Also dieser Fall gilt für 1 gleich 1, 2 gleich 2 usw.. Hier hat x also unendlich viele Lösungen.


Tags: was ist ein Term, Äquivalenzumformung, Formeln umstellen einfach, Äquivalenz, äquivalent, Gleichungen umformen und lösen
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