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Nachdem wir uns in der Lektion Terme und Gleichungen angeschaut hatten, wie man Gleichungen umformt, lernen wir als nächstes die Ungleichungen kennen. Bei Ungleichungen dürfen wir ähnlich wie bei den Gleichungen auf beiden Seiten umformen, dabei müssen wir jedoch ein paar Besonderheiten beachten. Auch gibt es neue Rechenzeichen, die man für das Aufstellen von Ungleichungen benötigt. Welche das sind, erfahrt ihr im Lernvideo!
Mathematik-Video: Ungleichungen
Wie lassen sich Ungleichungen lösen. Welche Zeichen und Regeln benötigen wir. Umstellen von Ungleichungen und Umformen von Termen. Größer und kleiner, größergleich und kleinergleich.
Wie lassen sich Ungleichungen lösen. Welche Zeichen und Regeln benötigen wir. Umstellen von Ungleichungen und Umformen von Termen. Größer und kleiner, größergleich und kleinergleich.
Fragen und Antworten zu Ungleichungen
Lernprogramme Ungleichungen
Ein Programm, mit dem ihr Ungleichungen lösen könnt, befindet sich in Entwicklung!
Wir bitten um Geduld.
Wissen zur Lektion
Stellen wir zwei Zahlen gegenüber, so können wir eine Aussage treffen, welche größer und welche kleiner ist. Hierzu nutzen wir Verhältniszeichen ('aussagenlogische Symbole'):
Man kann aber auch Ungleichungen aufstellen, die eine Variable (eine Unbekannte x) enthalten. Dies wird dann "Aussageform" genannt. Die folgende Ungleichung hat die Lösung: x > 0 (das heißt, alle positiven Zahlen dürfen eingesetzt werden und die Aussage der Ungleichung bleibt wahr):
Durch das Größer-Gleich-Zeichen kommt für die Lösungsmenge die 0 auch noch hinzu.
Die folgende Ungleichung hat die Lösung: x < 0 (das heißt, alle negativen zahlen dürfen eingesetzt werden und die Aussage der Ungleichung bleibt wahr):
Durch das Kleiner-Gleich-Zeichen kommt auch noch die Null zur Lösungsmenge hinzu.
Bei der nächsten Ungleichung sollen die Werte beider Terme verschieden bleiben. Somit kommen alle Zahlen außer 0 in Frage, da die Null dazu führen würde, dass 8 ungleich 8 dasteht, doch 8 = 8!
Wichtig: Wie wir im Video gesehen hatten, ist beim Umformen von Ungleichungen darauf zu achten, dass man das Größer- bzw. Kleiner-Zeichen umdreht, wenn man beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert!
Leider wird das oft von Schülern vergessen und so gehen wertvolle Punkte verloren...
Aufgaben
Teste hier dein Wissen zum Thema Ungleichungen! Alle Aufgaben sind ohne Taschenrechner zu lösen. Auf geht es!
A. Vergleiche die jeweiligen Werte und setze das richtige Verhältniszeichen (größer, kleiner, gleich) zwischen ihnen ein.
1. 3 ___ 5
2. 1 ___ 0
3. (-3) ___ (-5)
4. 0,025 ___ 0,25
5. 0,001 ___ -0,001
6. (10*100) ___ (50+50*10)
7. (4*8) ___ (2*16)
8. (9 - 0 + 1) ___ (-5*2)
9. (77:7) ___ (121:11)
10. 10000 ___ 100000
B. Ungleichheit bei Brüchen. Du solltest die Lektion Brüche bereits kennen, um diese Aufgaben richtig lösen zu können.
1.
2.
3.
4.
C. Berechne die Ungleichungen, d. h. finde den Wert für x.
1. x+x+x < 9
2. 4*x > 48
3. 4*x - 14 < 45
4. 3*x + x ≥ 18
5. 12x - 1 ≥ 20
6. (4x + 25)*3 ≤ 1
7. x+2,5 ≤ 12*1,5x
8. x ≤ y
9. x*x ≤ x*2
10. 500+25*x > -1000
11. Welchen Wert darf x nicht annehmen, damit die folgende Ungleichung gilt (also beide Seiten ungleich bleiben): 2*x ≠ 25
D. Berechne die doppelten Ungleichungen.
1. x - 5 < 3*x - 3 < x
2. 3*x+10 > 4x-2 > x
3. x < 2x - 2 < 2x + 15
4. 2x < -7 < x
E. Löse die nachstehenden Aufgaben aus dem Alltag.
1. Stefan hat 25 Euro in seiner Tasche und möchte diese beim Glücksspiel (ab 18 Jahren!) einsetzen. Für den Eintritt zahlt er 2 Euro. Jedes einzelne Spiel kostet 0,50 Euro. Schreibe eine Ungleichung auf, die angibt, wie viele Spiele er maximal spielen kann.
2. Marko will ein Edelrestaurant eröffnen und ihm stehen 40.000 Euro zur Verfügung. Für die Einrichtung zahlt er einmalig 32.000 Euro, jetzt werden noch hochwertige Tische und Stühle benötigt. Jeder Tisch kostet 1.500 Euro, jeder Stuhl 400 Euro. Erstelle eine Ungleichung, mit der man feststellen kann, wie viele Tische und Stühle gekauft werden können.
3. Vor dem Kinofilm möchtest Du Dir und Deiner Freundin ein paar Kleinigkeiten kaufen. Du hast noch 20 Euro bei Dir. Der Preis für eine Cola-Flasche beträgt 2,50 Euro, einmal Popcorn kostet 3,50 Euro. Erstelle hierzu eine Ungleichung, damit Du feststellen kannst, wie viel Cola-Flaschen und Popcorn-Tüten Du kaufen kannst.
4. Johann schreibt die Abschlussprüfung und muss 3 Prüfungen bestehen. Für jede Prüfung gibt es 100 Punkte. Damit er besteht, benötigt er in jeder Prüfung durchschnittlich 68 Punkte. Die 1. Prüfung hat er mit 75 Punkten und die 2. Prüfung mit 70 Punkten bestanden. Erstelle aus den Angaben eine Ungleichung, um die Mindestpunktzahl für die 3. Prüfung herauszufinden, die Johann benötigt.
A. Vergleiche die jeweiligen Werte und setze das richtige Verhältniszeichen (größer, kleiner, gleich) zwischen ihnen ein.
1. 3 ___ 5
2. 1 ___ 0
3. (-3) ___ (-5)
4. 0,025 ___ 0,25
5. 0,001 ___ -0,001
6. (10*100) ___ (50+50*10)
7. (4*8) ___ (2*16)
8. (9 - 0 + 1) ___ (-5*2)
9. (77:7) ___ (121:11)
10. 10000 ___ 100000
B. Ungleichheit bei Brüchen. Du solltest die Lektion Brüche bereits kennen, um diese Aufgaben richtig lösen zu können.
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C. Berechne die Ungleichungen, d. h. finde den Wert für x.
1. x+x+x < 9
2. 4*x > 48
3. 4*x - 14 < 45
4. 3*x + x ≥ 18
5. 12x - 1 ≥ 20
6. (4x + 25)*3 ≤ 1
7. x+2,5 ≤ 12*1,5x
8. x ≤ y
9. x*x ≤ x*2
10. 500+25*x > -1000
11. Welchen Wert darf x nicht annehmen, damit die folgende Ungleichung gilt (also beide Seiten ungleich bleiben): 2*x ≠ 25
D. Berechne die doppelten Ungleichungen.
1. x - 5 < 3*x - 3 < x
2. 3*x+10 > 4x-2 > x
3. x < 2x - 2 < 2x + 15
4. 2x < -7 < x
E. Löse die nachstehenden Aufgaben aus dem Alltag.
1. Stefan hat 25 Euro in seiner Tasche und möchte diese beim Glücksspiel (ab 18 Jahren!) einsetzen. Für den Eintritt zahlt er 2 Euro. Jedes einzelne Spiel kostet 0,50 Euro. Schreibe eine Ungleichung auf, die angibt, wie viele Spiele er maximal spielen kann.
2. Marko will ein Edelrestaurant eröffnen und ihm stehen 40.000 Euro zur Verfügung. Für die Einrichtung zahlt er einmalig 32.000 Euro, jetzt werden noch hochwertige Tische und Stühle benötigt. Jeder Tisch kostet 1.500 Euro, jeder Stuhl 400 Euro. Erstelle eine Ungleichung, mit der man feststellen kann, wie viele Tische und Stühle gekauft werden können.
3. Vor dem Kinofilm möchtest Du Dir und Deiner Freundin ein paar Kleinigkeiten kaufen. Du hast noch 20 Euro bei Dir. Der Preis für eine Cola-Flasche beträgt 2,50 Euro, einmal Popcorn kostet 3,50 Euro. Erstelle hierzu eine Ungleichung, damit Du feststellen kannst, wie viel Cola-Flaschen und Popcorn-Tüten Du kaufen kannst.
4. Johann schreibt die Abschlussprüfung und muss 3 Prüfungen bestehen. Für jede Prüfung gibt es 100 Punkte. Damit er besteht, benötigt er in jeder Prüfung durchschnittlich 68 Punkte. Die 1. Prüfung hat er mit 75 Punkten und die 2. Prüfung mit 70 Punkten bestanden. Erstelle aus den Angaben eine Ungleichung, um die Mindestpunktzahl für die 3. Prüfung herauszufinden, die Johann benötigt.
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