Mathe G19: Zinseszins und Zinseszinsformel

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In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:

Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

In dieser Lektion schauen wir uns die Zinseszinsrechnung an, eine mehrfache Verzinsung über mehrere Jahre. Dazu klären wir im ersten Video, was Zinseszins überhaupt bedeutet und berechnen eine Beispielaufgabe. Im zweiten Teil leiten wir dann die Zinseszinsformel verständlich her.

Um die Inhalte verstehen zu können, ist es hilfreich, wenn ihr die Mathe-Videos Prozente, Zinsrechnung und Potenzen gesehen habt.

1. Video: Einführung Zinseszins und Zinseszinsformel


Einführung zum Zinseszins: Verzinsung von Kapital und Zinsen über mehrere Jahre, Anwendung der Zinseszinsformel zur direkten Berechnung des Endkapitals aus Startkapital, Zinssatz und Anzahl an Jahren




Dazugehörige Videos sind für Kunden zugänglich:




Wissen zur Lektion


Die berühmte Zinseszinsformel lautet:

Zinseszinsformel mit Startkapital und Zinssatz

Neben den Inhalten aus den beiden Videos ist weiterhin festzuhalten:

Startkapital gesucht
Falls ihr das Startkapital K0 sucht (auch Anfangskapital genannt) und alle anderen Werte gegeben sind, so könnt ihr die Zinseszinsformel verwenden und entsprechend umstellen:

Zinseszinsformel umgestellt nach Startkapital{ K }_{ n }\quad =\quad { K }_{ 0 }*{ (1+p) }^{ n }\quad \quad |\quad :{ { (1+p) } }^{ n }\\ { K }_{ n }\quad :{ { (1+p) } }^{ n }\quad =\quad { K }_{ 0 }\\ \\ { K }_{ 0 }\quad =\quad \frac { { K }_{ n } }{ { { (1+p) } }^{ n } }


Zinssatz gesucht
Wenn ihr den Zinssatz p berechnen sollt, so müsst ihr die Zinseszinsformel wie folgt nach p umstellen:

Zinseszinsformel umgestellt nach Zinssatz p { K }_{ n }\quad =\quad { K }_{ 0 }*{ (1+p) }^{ n }\quad \quad |\quad :{ K }_{ 0 }\\ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 }\quad =\quad { (1+p) }^{ n }\quad \quad |\quad \sqrt [ n ]{ \quad } \\ \sqrt [ n ]{ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 } } \quad =\quad \sqrt [ n ]{ { (1+p) }^{ n } } \\ \sqrt [ n ]{ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 } } \quad =\quad 1+p\quad \quad \quad |-1\\ \sqrt [ n ]{ { K }_{ n }:{ K }_{ 0 } } -1\quad =\quad p\\ \\ p\quad =\quad \sqrt [ n ]{ \frac { { K }_{ n } }{ { K }_{ 0 } } } -1


Laufzeit gesucht
Wie ihr bei gegebenem Start- und Endkapital die Jahre herausbekommt (also den Exponenten n, der die Laufzeit darstellt), das erfahrt ihr in der Lektion Rechnen mit Logarithmen (Teil 3).

Eine Beispielaufgabe mit Lösung vorab:
"Wie lange dauert es, um von 2400 € auf 4833,60 € zu kommen bei einem Zinssatz von 5%?"

Die Antwort ist: Das geht mit dem Logarithmus.
Und der Rechenweg wäre mithilfe der Zinseszinsformel:

Kn = 2400*(1+0,05)n = 4833,60
2400 *1,05n = 4833,60 |:2400
1,05n = 2,014

// LOG anwenden
ln 1,05n = ln 2,014

// Logarithmusgesetz anwenden
n * ln 1,05 = ln 2,014 | : ln 1,05
n = ln 2,014 : ln 1,05
n ≈ 14,35 Jahre


Lernprogramme Zinseszins


Zinseszins

Der Zins über mehrere Jahre kann relativ schnell mit Hilfe der Zinseszinsformel berechnet werden.


Zinseszins (Tabelle und Diagramm)

Die Verzinsung über mehrere Jahre mit Auflistung des jeweiligen Kapitals und der Zinsen pro Jahr, mit Diagramm.


Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben


Hinweis: Ihr dürft den Taschenrechner zur Berechnung benutzen!

A: Aufgaben zum Zinseszins

1. Wir nehmen einen Mikrokredit in Höhe von 5.000 Euro. Die Laufzeit beträgt 5 Jahre, der Zinssatz 5,6 %. In dieser Zeit zahlen wir nichts zurück (also wir tilgen nicht). Die Zinsen werden jährlich zum Mikrokredit hinzugerechnet. Wie hoch ist die Kreditsumme am Ende der Laufzeit?

2. Anneliese ist 16 Jahre alt geworden und legt ihre ersparten 2.000 Euro für 5 Jahre an, damit sie diese mit 21 Jahren zur Verfügung hat. Der Zinssatz der Bank beträgt 3,4 %. Wie viel Geld wird ihr mit 21 Jahren ausgezahlt?

3. Familie Becker möchte ein Haus kaufen und benötigt hierzu einen Darlehen über 10 Jahre. Die Bank A bietet einen Zinssatz von 4 % p.a. für die Dauer von 5 Jahren, danach für weitere 5 Jahre einen Zinssatz in Höhe von 5 %. Die Bank B hingegen bietet einen Zinssatz von 4,5 % über die gesamte Laufzeit. Welches Angebot ist günstiger?

4. Wie viel Zinsen erhältst du jeweils, wenn du einen Betrag von 5.100 Euro bei einem Zinssatz von 2,7 % für 2 Jahre, 4 Jahre und 8 Jahre anlegst?

5. Wie viel Zinsen erhältst du jeweils, wenn du 5.100 Euro für 4 Jahre anlegst, bei einem Zinssatz von 2 %, 4 % und 8 %?

6. Für ein Guthaben auf deinem Konto in Höhe von 4.500 Euro schreibt dir die Bank nach zwei Jahren 367,20 Euro Zinsen gut. Wie hoch war der Zinssatz?

7. Dein Onkel hat sich ein neues Sportauto für 47.000 Euro auf Kredit gekauft, er zahlt jedoch ganze 4 Jahre die Kreditzinsen nicht. Wie viel muss er nach dieser Zeit insgesamt zurückzahlen, wenn der Zinssatz auf 9,75 % festgelegt war?

8. Ein Unternehmer möchte eine große Immobilie im Stadtzentrum erwerben, der ausgehandelte Preis beträgt 4.700.000 Euro. Drei Banken bieten ihm Kredite zu folgenden Konditionen an (Laufzeit 10 Jahre):

Angebot A (1 Kreditsumme): Darlehen 4.700.000 € zu 4,2 %
Angebot B (2 Kreditsummen): I. Darlehen 3,7 Mio. € zu 3,1 %, II. Darlehen 1,0 Mio. Euro zu 3,7 %
Angebot C (2 Kreditsummen): I. Darlehen 1,5 Mio. € zu 2,4 %, II. Darlehen 3,2 Mio. Euro zu 3,9 %

Welches ist das beste Angebot?


B: Vermischte Aufgaben zum Zinseszins

1. Du hast Schulden in Höhe von 15.000 Euro, für die du 3,2 % p.a. Zinsen zahlst. Nach 3 Jahren möchtest du die bereits angefallenen Zinsen zurückzahlen und 5.000 € tilgen. Wie viel Geld benötigst du?

2. Markus legt 5.000 Euro bei einer Bank an für einen Zinssatz von 4,5 %. Er möchte zwei Varienten berechnen:
a) Wie hoch wären die Zinsen, wenn er sie erst nach 3 Jahren abhebt?
b) Wie hoch wären die Zinsen, wenn er sie über 3 Jahre jährlich abhebt?

3. Hans im Glück gewinnt 20.000 € bei der Lotterie. Das Geld legt er an und erhält 4,0 % p.a. Zinsen. Nachdem weitere 3 Jahre vergehen, gewinnt er ein weiteres Mal, und zwar 10.000 €. Diese legt er für 4,2 % an. Wie viel Geld hat er nach 5 Jahren?

4. Herr Neunmalklug hat ein Darlehen in Höhe von 50.000 Euro bei 2,75 % p.a. Zinssatz. Gleichzeitig hat er 60.000 Euro auf seinem Sparkonto, das mit 2,5 % verzinst wird. Er verrechnet die Schuldzinsen nach 4 Jahren mit den Habenzinsen. Macht er Schulden oder Gewinn?

5. Eine Erbschaft bringt dir 18.000 Euro, die du gewinnbringend für 4 Jahre anlegen willst, um dann eine Weltreise zu machen. Du hast dir 2 Angebote unterbreiten lassen:
Angebot a) Zinssatz für 4 Jahre 4,5 %
Angebot b) Zinssatz für 1 Jahr 2,5 %, für weitere Jahre Zinssatz 4,9 %
Für welches Angebot entscheidest du dich?

6. Leona hat ihr Girokonto überzogen und sich seit 3 Jahren nicht darum gekümmert. Die Bank berechnete ihr im 1. Jahr 100 € Überziehungszinsen bei einem Zinssatz von 10,5 %. Wie hoch waren ihre anfänglichen Schulden? Wie hoch sind ihre Schulden nach den 3 Jahren?

7. Stefan legt einen Betrag von 8.000 Euro zu einem Zinssatz von 5 % an. Laufzeit: 20 Jahre. Die Zinsen lässt er sich nach 5 Jahren auszahlen, die nächsten 15 Jahre lässt er das Geld unangetastet. Wie viele Zinsen hat er am Ende der Laufzeit insgesamt bekommen?

8. Welchen Betrag muss Jolande zu einem Zinssatz von 5 % anlegen, um nach 8 Jahren mehr als 10.000 € auf ihrem Konto zu haben?

9. Tom hat sein Geld als Kapital 4 Jahre zu 4,5 % p.a. angelegt und danach weitere 4 Jahre für einen Zinssatz von 4,3 %. Er erhält nach den vergangenen 8 Jahren 7.772,20 € ausgezahlt. Wie hoch war sein Startkapital?


C: Aufgaben zur Ermittlung des Zinssatzes beim Zinseszins

Hinweis: Um die folgenden Aufgaben rechnen zu können, musst Du die Lektion Wurzeln gesehen haben. Denn dann verstehst du diese Rechenschritte:

Ermittlung des Zinssatzes beim Zinseszins per Wurzel

Wenn du dies also beherrschst, kannst du die Aufgaben lösen:

1. Deine Großeltern möchten 2.000 Euro für dich anlegen. Sie möchten, dass sich die Summe nach 5 Jahre verdoppelt hat. Welchen Zinssatz benötigen Sie hierfür?

2. Berechne: Welcher Zinssatz ist notwendig, damit sich ein Kapital nach 10 Jahren verdoppelt?

3. Um sein Kapital von 800 Euro auf 1.000 Euro zu vermehren, möchte Wille die Zinssätze berechnen, für die das möglich ist bei folgenden Laufzeiten:
a) Laufzeit 2 Jahre
b) Laufzeit 4 Jahre
c) Laufzeit 6 Jahre

4. Utes Geld auf dem Sparkonto ist auf 18.600 Euro angewachsen. Es liegt seit 8 Jahren unangetastet auf dem Konto. Der Zinssatz war konstant bei 4 %. Wie groß war ihr Startkapital?

5. Inge soll nach 3 Jahren 1.500 € an Paul zurückzahlen. Sie hatten einen Zinssatz von 3,5 % vereinbart. Wie viel Geld hatte Paul überlassen?

6. Deine Eltern haben für dich etwas Geld gespart, nach 5 Jahren Anlage ist ein Kapital von 4.900,90 Euro entstanden. Der Zinssatz war konstant bei 5,5 %. Wie viel Geld hatten deine Eltern zu Beginn der Laufzeit angelegt?

7. Wir haben einen hohen Kredit für 3 Jahre aufgenommen, Zinssatz 7 % p.a. Anschließend müssen wir 99.999 Euro zurückzahlen. Wie hoch war der ursprünglich aufgenommene Kreditbetrag?

Hinweis:
Für die nachfolgenden Aufgaben benötigt ihr das Wissen aus der Lektion Logarithmus, andernfalls werdet ihr diese Zusatzaufgaben nicht lösen können. Mit dem Logarithmus lässt sich der Exponent berechnen. Beim Zinseszins ist der Exponent das hochgestellte n, also die Laufzeit in Jahren.

Eine Beispielrechnung zur Ermittlung der Laufzeit:

Kn = K0 * (1 + p)n
Kn = 2.000 € * (1 + 5 %)n = 2.400 €
(1 + 5 %)n = 2.400 € : 2.000 €
(1 + 0,05)n = 1,2
1,05n = 1,2 | Logarithmus
log 1,05n = log 1,2
n * log 1,05 = log 1,2
n = log 1,2 : log 1,05
n ≈ 3,737 Jahre

Alles klar, die letzten 3 Aufgaben lauten also:


8. Hanna legt 5.000 € an und erhält bei 5,7 % p.a. nach n Jahren insgesamt 6.000 € ausgezahlt. Wie viele Jahre war das Geld angelegt?

9. Emma hebt ihr gesamtes Geld von der Bank ab und erhält 1.220 Euro Zinsen ausgeschüttet. Sie hatte 5.700 Euro angelegt, der Zinssatz belief sich auf 4,3 % p.a. Wie viele Jahre hatte sie das Geld bei der Bank?

10. Johann möchte seine 12.000 Euro auf 16.000 Euro vermehren. Er hat ein gutes Angebot mit 6,7 % p.a. Zinssatz entdeckt. Wie viele Jahre muss er das Geld anlegen, damit der sogenannte Zinseszinseffekt die 4.000 Euro Zinsen erzeugt?


Alle Lösungen im Lernzugang




Untertitel

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Zinseszins Video Teil 1/2: Einführung Zinseszins und Zinseszinsformel


Hallo liebe Zuschauer und willkommen zur Lektion Zinseszins. Um diese Lektion verstehen zu können, müsst ihr folgendes wissen. Ihr müsst die Lektion Prozentrechnung gesehen haben. Ihr müsst auf jeden Fall die Zinsrechnung gesehen haben. Das war ja ein Spezialfall der Prozentrechnung. Und ihr müsst die Potenzrechnung kennen. Wenn ihr diese drei Themen beherrscht können wir auch schon loslegen. Bei der Zinsrechnung hatten wir kennengelernt, dass wir ein Kapital, hier als Beispiel 1.000 €, anlegen können bei einer Bank und dann nach einem Jahr einen Zins dafür bekommen, also ein Guthabenszuwachs. Unser Kapital erhöht sich im Beispiel um 100 €. Das hier ist der Zins. Das das Kapital. Und wir hatten das ja mit Prozenten ausgedrückt. Also hier 100 Prozent. Dann ist dieser grüne Bereich auch 100 Prozent. Und die 100 € wären in diesem Fall 10 Prozent. Gut, das hatten wir bei der Zinsrechnung kennen gelernt. Jetzt gehen wir über zum Zinseszins. Zinseszins heißt ja: Nehmen wir den Zins des Zinses, bzw. Zins vom Zins. Und was wir hier unten gemacht haben. Wir haben Zins vom Kapital genommen, von den 100 Prozent. Das war jedoch nur auf ein Jahr bezogen. Eine Jahresverzinsung. Beim Zinseszins geht es um mehrere Jahre. Das heißt wir müssen dieses Kapital hier was wir nach dem ersten Jahr haben, jetzt für ein weiteres Jahr verzinsen. Und für diesen Fall wird das Kapital, das wir nach dem ersten Jahr haben als 100 Prozent angesehen und jetzt wieder verzinst. Das besondere dabei ist, dass die 10 Prozent viel mehr im Wert sind, als die 10 Prozent, die wir hier hatten. Also jetzt nochmal in absoluten Werten. Hier nehmen wir 1.000 €. 10 Prozent von 1.000 € sind 100 €. Jetzt haben wir hier insgesamt 1.100 € und müssen jetzt von denen hier 10 Prozent nehmen, das sind 110 €. Das heißt wir sehen, die Zinsen für das zweite Jahr betragen 110 €, die Zinsen für das erste Jahr betragen 100 €. Wir sehen also, dass die 100 € um 10 Prozent auf 110 € gestiegen sind. Und wir sehen, dass das Kapital selbst, die 1.000 € um 10 Prozent auf 1.100 € gestiegen sind. Das heißt der Zins hat sich mit verzinst. Und natürlich. Dieser Teil steckt hier mit drin. Wir können ja einfach das jetzt hier rüber laufen lassen. Und wir sehen, dass sich das Kapital nach dem zweiten Jahr aus dem Anfangskapital 1.000 € ergibt, plus Zinsen auf das Anfangskapital plus Zinsen, die sich ergeben aus 10 Prozent von den Zinsen aus dem ersten Jahr und 10 Prozent von dem Kapital aus dem ersten Jahr. Um dieses Kapital zu beschreiben nutzen wir kleine Ziffern. Also das Startkapital ist K_0, wobei 0 dafür steht, dass es das 0te Jahr ist, also keine Zeit vergangen ist. Hier haben wir das Kapital nach einem Jahr, also schreiben wir K_1 und hier haben wir das Kapital nach 2 Jahren. Wir schreiben K_2. Und natürlich haben wir dann auch die Zinsen hier. Die 100 € sind dann Z_1 und hier drüben haben wir dann die Zinsen auf dieses Kapital und das ist dann Z_2. Und hier natürlich: Das ist K_0, die 1.000. Hier drüben taucht die K_0 auch wieder auf. Und hier drüben das ist natürlich K_1. Dann können wir an dieser Stelle schon mal festhalten. Wir haben also K_1 und das ergibt sich aus K_0, hier unten, und plus Z_1. Also schreiben wir hin: K_0 plus und jetzt die Z_1. Und wir können festhalten, wenn wir K_2 suchen, das ergibt sich aus K_1 plus Z_2. K_2 ist gleich K_1 plus Z_2. Gut, befreien wir uns jetzt von diesen Graphiken und machen rechnerisch weiter. Bei der Zinsrechnung hatten wir eine wichtige Formel kennen gelernt, die da lautete: Z gleich K mal p. Also das Kapital multipliziert mit dem Zinssatz. Mit dieser Formel werden wir jetzt hier arbeiten. Wir haben hier den Zins nach einem Jahr und der ergibt sich, indem wir das Kapital aus dem 0ten Jahr mit einem Zinssatz multiplizieren. Also können wir hier schreiben: Z_1 ist gleich das K_0 multipliziert mit dem Zinssatz. Dadurch erhalten wir den Anteil, also die Zinsen. Dieses K_0 mal p können wir hier oben eintragen. Weil hier ist Z_1 und hier ist Z_1. Also setzen wir das hier ein. Als nächstes überlegen wir uns, wie ergeben sich die Zinsen für das zweite Jahr. Und ganz klar, da haben wir K_1 genommen und daraus den Anteil gebildet. Also hier würde jetzt stehen: Zinsen für das zweite Jahr ist gleich Kapital aus dem ersten Jahr multipliziert mit dem Zinssatz und genau das setzen wir für Z_2 ein. Wir könnten das jetzt immer so weiter führen. Wir könnten also für mehrere Jahre die Zinsen jeweils berechnen und die Kapitale. Das Problem hierbei: Es ist extrem zeitaufwendig. Wir müssen jetzt immer die einzelnen Werte ausrechnen und dann für jede Zeile entsprechend einsetzen. Um uns diese Zeit zu sparen, gibt es die sogenannte Zinseszinsformel. Die hilft uns so etwas hier abzukürzen. Und zwar brauchen wir dann nur noch das Startkapital, das K_0. Und wir brauchen dann nur noch den Zinssatz. Und natürlich noch die Anzahl der Jahre, hier als n dargestellt. Mit diesen drei Werten können wir dann beliebige Kapitale berechnen und müssen nicht mehr alles einzeln hier machen. Und die Zinseszinsformel die wir dafür benötigen, lautet: K_n, also das Kapital nach n Jahren ist gleich K_0 mal (1 plus p)^n. Wie sich diese Formel ergibt, das schauen wir uns im nächsten Teil an. Jetzt benutzen wir sie erstmal. Sagen wir, wir haben ein Startkapital von 1.000 €, wir haben einen Zinssatz von 10 Prozent und wir haben eine Laufzeit von 8 Jahren, also schreiben wir n gleich 8. Jetzt nehmen wir uns diese Formel hier runter und setzen die Werte ein. K_0 ist 1.000 €. Schreiben wir hier rein. Das p sind 10 Prozent. Schreiben wir hier rein. Und für n müssen wir die 8 Jahre einsetzen. Und das können wir jetzt in den Taschenrechner eingeben. Vorher natürlich noch diese Prozent hier umgewandelt. 10 Prozent entspricht einem Wert von 0,1 und 1 plus 0,1 sind 1,1. Und das geben wir jetzt in den Taschenrechner ein. Zuallererst die Potenz: 1,1^8 und dann mal 1.000 und wir erhalten 2.143,59 (gerundet). Und hier natürlich: Das n machen wir zur 8, denn es ist ja das Kapital nach dem achten Jahr. Und auf diese Art und Weise haben wir sehr schnell das Kapital aus diesen Werten hier berechnet. Schauen wir uns kurz an, wie aufwendig es wäre, die Kapitale für jedes einzelne Jahr zu berechnen. Hier seht ihr das Startkapital, das war was wir am Anfang anlegen 1.000 €. Hier ein Zinssatz von 10 Prozent und hier die Jahre. Und wie ihr hier seht müssen wir zuerst die 10 Prozent von 1.000 € berechnen und erhalten 1.100 €. Nehmen diese 1.100 € in das nächste Jahr, müssen wieder mit 10 Prozent verrechnen, erhalten diese 1.210 € und das machen wir für alle acht Jahre bis wir schließlich zum Wert 2143,59 € ankommen. Den, den wir auch mit der Zinseszinsformel berechnet hatten. Also viel, viel schneller. Als nächstes schauen wir uns an, wie sich die Zinseszinsformel ergibt. Schauen wir doch nochmals zurück, was wir bereits ermittelt hatten und von diesen Formeln brauchen wir nur K_1 und K_2. Und um jetzt zur Zinseszinsformel zu kommen, müssen wir ausklammern. Nehmen wir dazu die erste Formel. Ausklammern hieß ja, wir nehmen hier ein Element heraus. Und zwar machen wir das mit dem K_0. Das müsstet ihr gelernt haben. Wir können ja hier schreiben „mal 1“, denn K_0 mal 1 ist ja K_0. Dann können wir als nächstes das K_0 heraustrennen und schreiben K_0 mal Klammer auf, jetzt die 1 dann das plus und dann das p Klammer zu. Und schon haben wir ausgeklammert. K_0 mal 1 haben wir hier. Plus, plus. K_0 mal p haben wir hier. Das heißt K_1 ergibt sich aus K_0 mal(1 plus p). Und genauso für K_2 können wir das machen. Jetzt können wir das auch ausklammern und dann steht da K_2 ist gleich K_1 mal (1 plus p). Schreiben wir die beiden untereinander und wir erkennen, K_0 ergibt sich aus K_0 mal (1 plus p) und K_2 ergibt sich aus K_1 mal (1 plus p). Hier übrigens der Hinweis: Wir haben gelernt, dass man eine 1 auch als 100 Prozent schreiben kann. Und das p wäre als Beispiel 10 Prozent. Wenn ihr das jetzt also ausrechnet, steht da: K_0 mal, richtig, 110 Prozent. Und das entspricht ja auch der Möglichkeit ein Kapital schnell zu berechnen. Nehmen wir uns gerade den Taschenrechner. Habt ihr zum Beispiel 200 € und wollt da 10 Prozent draufschlagen, dann rechnet ihr einfach mal 1,1 und das sind ja 110 Prozent und erhaltet 220 €. Richtig. 200 € sind 100 Prozent, 20 € sind 10 Prozent und 220 € sind dann die 110 Prozent. Das heißt K_1, das was wir am Ende gesamt heraus haben, ergibt sich aus K_0 mal den 110 Prozent. Und mit diesem Wissen können wir die Formel für den Zinseszins herleiten. Wie das geht, sehen wir im nächsten Teil./div>

Zinseszins Video Teil 2/2: Herleitung der Zinseszinsformel


Hallo und willkommen zurück zum nächsten Teil, zum Zinseszins. In diesem Teil schauen wir uns an, wie sich die Zinseszinsformel ergibt. Hierzu das Beispiel: Wir haben einen Zinssatz von 10 Prozent und wir haben hier ein Kapital, das mit 100 € angegeben ist. Wenn wir diese 100 € um 10 Prozent erhöhen, kommen wir natürlich auf 110 €. Wenn wir jetzt diese 110 € als neue Größe nehmen, davon 10 Prozent berechnen, was einem Wert von 11 € entspricht, kommen wir, 110 plus 11, auf 121. Wenn wir jetzt diese 121 € nehmen, hiervon 10 Prozent berechnen, müssen wir 12,1 drauf schlagen. Kommen wir also auf 133,1 €. Anders kann man das auch wie folgt machen. Anders kann man das auch wie folgt machen: Man kann anstatt plus 10 Prozent mal 110 Prozent rechnen, sowie wir es gerade am Ende des letzten Teils gelernt hatten. Diese mal 110 Prozent nennt man übrigens auch Aufzinsfaktor. 100 € mal 110 Prozent ergibt 110 €. Dann 110 € mal 110 Prozent sind 121 €. Und das jetzt auch nochmal mit 110 multipliziert und wir kommen auf 133,1 €. Wenn wir als nun von K_0 unserem Startkapital zu dem Kapital nach eins, zwei, drei Jahren kommen wollen, können wir folgendes tun. K_3, das wir ja haben wollen, kann jetzt errechnet werden aus K_0, jetzt mal 110 Prozent, dann wären wir bei K_1. Jetzt wieder 110 Prozent, so wären wir bei K_2. Und jetzt wieder mal 110 Prozent und wir wären bei K_3. Wir sehen also, dass wir das K_0 einmal erhöhen mit dem Aufzinsfaktor. Noch einmal erhöhen mit dem Aufzinsfaktor und dann noch einmal erhöhen mit dem Aufzinsfaktor. Wobei hier dann das K_1 drinsteckt, hier dann das K_2 drinsteckt und hier dann das K_3. Das schöne hieran ist, dass sich alles auf das K_0 bezieht; auf das Startkapital. Unsere Aufgabe ist es nun hieraus einen allgemeine Formel zu generieren. Schauen wir einmal. Bei der Potenzrechnung hatten wir gelernt, dass wir ja so etwas wie x mal x mal x auch schreiben dürfen als x³. Und genau das haben wir ja auch hier. 110 Prozent in der Multiplikation einmal, zweimal, dreimal. Wir dürfen also diese 110 Prozent also hoch 3 schreiben. Wir erhalten also 110 Prozent hoch 3. Und schauen wir nochmals kurz zurück: Wollten wir beispielsweise das Kapital nach einem Jahr haben, so mussten wir das Startkapital K_0 mit 110 Prozent multiplizieren. Wollten wir es nach zwei Jahren haben, das K_2, mussten wir das Startkapital multiplizieren mit 110 Prozent und dann nochmal mit 110 Prozent. An dieser Stelle machen wir das gleiche wie wir es hier unten gemacht haben. Wir machen eine Potenz daraus. Das ist 110 Prozent zweimal mit sich selbst multipliziert, also können wir schreiben: 110 Prozent in Klammern hoch 2. Und hier oben ebenfalls: Wir haben gelernt, dass man bei einer Zahl immer hoch 1 schreiben darf und das da die Zahl wieder herauskommt. Also schreiben wir hier Klammer auf 110 Prozent Klammer zu hoch 1. Schauen wir uns nur die Potenzen an und nehmen diese Multiplikationen hier beide weg. Dann sehen wir schon eine gewisse Regel. Diese 1 von diesem Jahr, findet sich auch hier bei dem Kapital nach einem Jahr. Also K_1 und hier haben wir die hoch 1. K_2 und da haben wir die hoch 1. Und K_3, da haben wir die hoch 3. Und natürlich, wenn wir jetzt K_4 hätten, dann hätten wir hier die hoch 4. Um es also allgemein zu formulieren, können wir aus diesen 1, 2, 3, 4 und auch hier 1, 2, 3, 4, einfach sagen, das soll die Variable n sein. Also hier unten bei der 4, die wird zu n. Und hier, diese 4 wird auch zu n. Das heißt also, n könnte jetzt 3 sein, 2 sein, 1 sein oder auch 20. Und gibt uns immer die Anzahl der Jahre an. Das heißt wir können jetzt die mal wegnehmen, weil wir es ja hier allgemein formuliert haben. Im nächsten Schritt müssen wir natürlich noch diesen Prozentsatz, bzw. Zinssatz, verallgemeinern. Wir hatten gesagt, es sind 10 Prozent und die stecken ja hier drin. Und es waren ja eigentlich, wenn wir uns zurück erinnern 100 Prozent plus 10 Prozent. Und da findet sich ja diese 10 Prozent hier wieder. Und ganz klar, allgemein schreibt man dann das p, dann tragen wir hier das p ein. Und jetzt noch im letzten Schritt schreiben wir die 100 Prozent als 1, denn wie wir bei der Prozentrechnung gelernt hatten: 100 Prozent ist das gleiche wie 100 durch 100 und das ergibt 1. Und schon haben also unsere konkrete Formel, die Zinseszinsformel hergeleitet. Ganz allgemein. Man sagt also, das Kapital nach n Jahren, also nach einer beliebigen Anzahl an Jahren, ergibt sich aus dem angelegten Kapital K_0, multipliziert mit (1 plus Zinssatz) hoch Anzahl der Jahre. Oder mit anderen Worten. Wir haben das Startkapital hier, und hier, durch das hoch n, dessen mehrfache Verzinsung, bzw. Aufzinsung. Falls ihr also mal eine Aufgabe bekommen solltet, wie zum Beispiel: Frau Koch legt 2.400 € bei einer Bank an. Und erhält dafür 12 Prozent Zinsen bei einer Laufzeit von 8 Jahren. Erinnert euch, p.a. heißt „pro anno“, also der Zinssatz hier bezieht sich auf ein Jahr. Und nicht verwechseln, hier steht zwar Zinsen, aber man meint den Zinssatz. Ok, schreiben wir also auf: Wir haben gegeben das K_0 mit insgesamt 2.400 €. Wir haben den Zinssatz gegeben, p mit genau 12 Prozent. Und wir haben die Laufzeit n, und das sind 8 Jahre. Jetzt nehmen wir uns einfach die Zinseszinsformel hier oben als Hilfsmittel und tragen jetzt die Werte ein. K_0 sind 2.400 €. Das p sind 12 Prozent und das n sind 8 Jahre. Und tragen wir auch die 8 hier vorne ein. Und jetzt können wir das in den Taschenrechner eingeben. Und fangt beim Eingeben bitte immer mit der Klammer hier an, weil Potenz geht dann vor Multiplikation. Das heißt wir rechnen hier 1 plus 12 Prozent. Und dann wissen wir 1 ist ja eigentlich 100 Prozent und 100 plus 12 sind natürlich 112 Prozent. Und 112 Prozent ist als Wert 1,12. Wir können also in den Taschenrechner eingeben: 1,12^8 und wir erhalten 2,475 und so weiter. Jetzt dieses Mal. Mal. Und jetzt diese 2.400 €. Wir erhalten also 5.942,31 €. Unser Ergebnis für K_8. Und was ihr natürlich feststellt. Die 2.400 € haben sich durch den Zinseszins mehr als verdoppelt. Solche Aufgaben könnt ihr dann übrigens auch unter www.echteinfach.tv mit der Software kontrollieren. Schauen wir einmal, wir geben jetzt also die Werte ein, die wir gerade bei der Aufgabe hatten. Da waren es 2.400 €.Wir hatten einen Zinssatz von 12 Prozent und eine Laufzeit von 8 Jahren. Bestätigen wir das und ihr seht wir erhalten rund 5942,31 €. Das errechnete Ergebnis. Um euch die einzelnen Zinsen anzeigen zu lassen, könnt ihr auch die andere Software benutzen. Hier stellen wir ebenfalls ein Startkapital von 2.400 € ein. Wählen einen Zinssatz von 12 Prozent und 8 Jahre waren ja vorgegeben. Ihr seht, das Endkapital waren 5942,31 €. Auch hier unten mit der Zinseszinsformel 5942,31 €. Hier oben könnt ihr noch auf Graphik anzeigen klicken und ihr seht die einzelnen Werte in diesem Diagramm eingetragen. Die Zinszuwächse steigen wie ihr seht, also der Strich wird immer länger. Und wenn wir jetzt mal die einfache Verzinsung angucken, also ohne Zinseszins, immer der gleiche Wert drauf addiert, erhalten wir 4.704 €. Also wesentlich weniger, als wenn wir die Zinsen immer mit verzinsen. Und na klar. Ihr könnt euch hier nochmal in der Tabelle die einzelnen Zinsen anschauen pro Jahr. Viel Spaß mit dem Zinseszins. Legt euer Geld gut an und viel Erfolg beim Rechnen.


Tags: Zinseszins, Zinseszinsberechnung, Mehrfachverzinsung, Zinsen verzinsen, Kapital, Anzahl der Jahre berechnen
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  • Mathe G23: Logarithmus und Logarithmengesetze
  • Mathe G24: Terme und Gleichungen umformen
  • Mathe G25: Bruchgleichungen / Bruchterme
  • Mathe G26: Quadratische Gleichungen
  • Mathe G27: Kubische Gleichungen und Polynomdivision
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