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Als nächstes behandeln wir Rechtwinklige Dreiecke und schauen uns hierbei auch den Satz des Pythagoras an (kostenloses Video). Nach dieser Lektion können wir übrigens mit dem Sinus loslegen!
Grundlagen
Entstehung von Dreiecken, Dreiecksbeschriftung, Aufbau des Dreiecks, Dreiecksarten, Nachweis für den Winkelsummensatz 180°
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras einfach erklärt, mithilfe von Flächen
und der Binomischen Formel. Inklusive geometrischer Herleitung.
Das Prinzip des Pythagoras funktioniert auch für Dreiecke, Rechtecke, Kreise u.a. Wir zeigen, welches Geheimnis sich dahinter verbirgt.
Auch schauen wir uns den Satz des Thales an!
Höhensatz und Kathetensatz des Euklid
Wir zeigen, wie man die Höhe, und die Teilstrecken p und q berechnet. Dabei stoßen wir auf den Höhensatz und den Kathetensatz des Euklid.
Testet euer neues Wissen nach den Videos mit den Lernprogrammen online!
Wer die 1. Binomische Formel übrigens vergessen hat, schaut sich am Besten nochmals die Lektion hierzu an.
Lernprogramme für Rechtwinklige Dreiecke
Allgemeines Dreieck: Höhen, Winkel, Fläche, Umkreis
Hier legt ihr ein Dreieck fest und erhaltet Höhe, Winkel, Fläche und Umkreis mit Umkreisradius berechnet.
Winkelsummensatz (Dreiecke)
Mit diesem Programm kann nachgewiesen werden, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks stets 180 Grad ergeben muss.
Rechtwinklige Dreiecke: Flächenberechnung
Hier erkennt ihr, wie sich die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks als Hälfte eines Rechtecks ergibt.
Satz des Pythagoras und 1. Binomische Formel
Eine quadratische Fläche können wir aus a² + 2*ab + b² oder c² + 2*ab erstellen. So ergibt sich a² + b² = c²
Satz des Pythagoras: Geometrischer Nachweis I
Verschieben wir die Dreiecke, so erhalten wir zum einen c² und zum anderen a² und b².
Satz des Pythagoras: Geometrischer Nachweis II
Für diesen Nachweis werden zwei Dreiecksflächen aus a² und b² heraus verschoben, die dann das c² ergeben.
Satz des Pythagoras: Nachweis
Nachweis über das große Quadrat (a+b)², von dem 4 Dreiecksflächen abgezogen werden. Eigene Werte können eingegeben werden!
Satz des Pythagoras: Flächendarstellung
Der Satz des Pythagoras wird häufig so dargestellt, dass die Quadrate auf den Dreiecksseiten liegen.
Satz des Pythagoras: Prinzip
Die Flächen über den Dreiecken sind hier als Dreiecke gezeichnet, könnten aber auch andere Formen einnehmen. Wichtig ist, dass der Flächen-Vergrößerungsfaktor konstant ist.
Satz des Thales
Es ergibt sich stets ein rechtwinkliges Dreieck, wenn man den Durchmesser des Kreises als Grundseite betrachtet und einen weiteren Dreieckspunkt auf die Kreislinie setzt.
Rechtwinkliges Dreieck: Seiten berechnen
Gebt jeweils Werte für a, b oder c ein. Die Seiten im Dreieck werden über Höhen- und Kathetensatz berechnet.
Rechtwinkliges Dreieck: Winkel max. 90 Grad
Dieses Programm veranschaulicht, dass die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck nie größer als 90 Grad sind.
Seite, Quadrat und Wurzel
Legt eine Seite fest und ihr Quadrat wird als Fläche angezeigt. Mit Hilfe der Wurzel kommt ihr wieder zurück zur Seitenlänge.
Rechtwinklige Dreiecke: Ähnlichkeit
Teilt die Höhe das rechtwinklige Dreiecke in zwei Teildreiecke, so sind alle Dreiecke zueinander ähnlich.
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Wissen zur Lektion
Dreiecksbeschriftung
Die Eckpunkte des Dreiecks werden entgegen des Uhrzeigersinns mit A, B, C beschriftet. Der Winkel an einem Punkt erhält üblicherweise den Namen des Punktes mit kleinem griechischem Buchstaben (Punkt A → α, Punkt B → β, Punkt C → γ). Die einem Eckpunkt gegenüberliegende Seite erhält dessen Namen in Kleinbuchstaben (z. B. Punkt B liegt Seite b gegenüber).
Dreiecksarten
Jedes Dreieck ist ein "allgemeines Dreieck" (beliebiges Dreieck). Hat es jedoch besondere Eigenschaften, so erhält es eine andere Bezeichnung:
Dreieckshöhen
Eine Höhe wird senkrecht auf eine Dreiecksseite eingezeichnet und geht durch den darüberliegenden Punkt. Zum Beispiel steht Höhe b senkrecht auf Seite b und geht durch den gegenüberliegenden Punkt B.Die Höhe (sofern sie innerhalb des Dreiecks liegt) teilt jedes Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke (die zueinander ähnlich sind):
Winkelsummensatz
Der Winkelsummensatz (auch Innenwinkelsummensatz genannt) lautet:Alle drei Winkel (Innenwinkel) des Dreiecks ergeben zusammen 180 Grad.
Der Nachweis des Winkelsummensatzes kann über Wechselwinkel erfolgen:
Flächenberechnung
Die Fläche eines Rechtwinkligen Dreiecks lässt sich berechnen, indem man die Seiten a und b miteinander multipliziert (es ergibt sich eine Rechtecksfläche) und dann halbiert (wir erhalten die Dreiecksfläche), siehe folgende Grafik:
Merkt euch also die Flächenformel: A = a*b : 2Der Satz des Pythagoras
Dieser mathematische Satz wurde erstmals in Euklids Werk "Elemente" (Buch I, § 47) dokumentiert. Weshalb er nach Pythagoras benannt wurde, ist nicht vollständig geklärt. Diogenes Laertios (3. Jh. n. Chr.) zitierte Apollodoros (4. Jh. v. Chr.) mit:Als Pythagoras einst das berühmte Verhältnis der Seiten entdeckte,
opferte er (Gott) prächtige Ochsen.
Quelle: A Manual of Greek Mathematics, 1931/2003, T. L. Heath
Nachstehend sehen wir eine Grafik, die man heutzutage in dieser Form in den meisten Lehrbüchern wiederfindet. Mit bloßem Auge ist hier jedoch nicht zu erkennen, dass die Flächen a² und b² tatsächlich genauso groß sind wie die Fläche c². Beim Beweis weiter unten wird dies jedoch deutlich!
Beweis zum Satz des Pythagoras
Den Satz des Pythagoras haben wir im kostenlosen Video (Teil 2) visuell und leicht verständlich dargestellt. Nachstehend die schriftlichen Ausführungen hierzu (Tipp: Nutzt zum besseren Verständnis die obige Grafik):
Zeichnet man ein großes Quadrat, bei dem jede der Seiten aus den Teilstrecken a und b besteht, erhält man für die Quadratsfläche die Formel (a+b)*(a+b). Diese Flächenformel lässt sich mittels der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren zu: (a+b)*(a+b) = a² + 2*a*b + b²
Gleichfalls ergibt sich die gesamte Quadratsfläche (a+b)*(a+b) aber auch, wenn wir die weiße Quadratsfläche c² und die 4 Dreiecksflächen addieren. Dies kann als Gleichung wie folgt festgehalten werden: c² + 4 * (a*b : 2). Daraus erhalten wir: c² + 2*a*b
Beide vorgenannten Flächen entstammen aus (a+b)*(a+b), sind also gleich groß. Wir dürfen sie demnach gleichsetzen:
Wenn wir nun auf beiden Seiten der Gleichung 2*a*b abziehen, erhalten wir:
a² + b² = c² → der Satz des Pythagoras!
Hier sei noch ein Zahlenbeispiel zum Beweis gegeben, so wie es auch im Video vorkommt:
Zusatz: Nachweis für Quadratsfläche c²
Wenn wir die 4 grünen rechtwinkligen Dreiecke in das große Quadrat (a+b)² legen, warum ergibt sich dann eigentlich ein Quadrat im Inneren?Diese Frage können wir beantworten, indem wir den Winkelsummensatz nutzen. Der Winkelsummensatz besagt, alle Innenwinkel eines Dreiecks müssen zusammen 180 Grad ergeben. Ist ein Winkel rechtwinklig, müssen die beiden nicht-rechtwinkligen Winkel (Alpha und Beta) zusammen 90 Grad sein.
Bei der folgenden Grafik können wir erkennen, dass Alpha und Beta unten auf der Seite des großen Quadrats liegen und mit dem orangen Winkel einen gestreckten Winkel von 180 Grad bilden.
Da α + β + oranger Winkel = 180° sein müssen, kann der orange Winkel als Teil des gestreckten Winkels nur eine Größe von 90° (also γ) haben:
Das Geheimnis hinter dem Satz des Pythagoras
Im Video Teil 3 zeigen wir das Geheimnis, das sich hinter dem Satz des Pythagoras verbirgt. Tatsächlich findet ihr in den Lehrbüchern hierzu nichts (und wenn doch, sendet uns eine Nachricht!).Nach einem Hinweis von Prof. Dr. Oldenburg (Goethe-Universität Frankfurt) konnten wir den Pythagoras-Beweis nach Einstein ausfindig machen - der leider relativ unbekannt ist und uns vorher auch nicht bekannt war. Dieser Beweis beschreibt das im Video dargestellte Prinzip in ähnlicher Form, sinngemäß stellt er einen Zusammenhang zwischen den Dreiecksflächen und den Quadratsflächen her.
Formell wird er so ausgedrückt: Ea = m*a², Eb = m*b², Ec = m*c²,
wobei Ea + Eb = Ec und damit auch m*a² + m*b² = m*c² → a² + b² = c²
"E" meint dabei die jeweilige Dreiecksfläche und "m" den Vergrößerungs-/Verkleinerungsfaktor, der für alle Flächen gilt.
Nachdem ihr das Video gesehen habt, werdet ihr diesen Zusammenhang verstehen können! Hier eine Vorschau:
Warum ist also a² + b² = c²?
Welches Geheimnis steckt nun wirklich dahinter? → Einfach gesagt: Die Quadratsflächen sind nichts weiter als die drei vergrößerten Dreiecksflächen in ihrer Form verändert. Die zwei Teildreiecke Ea + Eb ergeben das gesamte Dreieck Ec, daher müssen auch die um den gleichen Faktor vergrößerten Dreiecke (dann Quadrate a² + b²) das Gesamtdreieck (dann Quadrat c²) ergeben!Flächenfaktor und Verhältnisse der Flächen zueinander
Aus dem Zusammenhang oben (Einstein) ergibt sich übrigens, dass der Verkleinerungs-/Vergrößerungsfaktor (um von den Dreiecksflächen auf die Flächeninhalte der Quadrate zu kommen - oder andersherum) für alle Flächen gleich ist. Dieser Flächenfaktor ergibt sich aus:
bzw. 
Nehmen wir uns den ersten Teil der Gleichung (a²/Ea = b²/Eb) und stellen ihn um, so erkennen wir einen weiteren Zusammenhang:
Das Verhältnis der beiden Dreiecksflächen zueinander entspricht dem Verhältnis ihrer Quadratsflächen zueinander.
Allgemein:

Als Beispiel:

Wer noch weiter einsteigen möchte, sieht sich das Video Teil 3 an, wo wir uns in diesem Zusammenhang auch mit dem Thema Ähnlichkeit befassen.
Berechnung der Dreiecksfläche über die Höhe
Neben der oben gezeigten Flächenformel für Rechtwinklige Dreiecke (A = a*b:2) existiert eine weitere Formel, die im Video Teil 5 hergeleitet wird und nachfolgend illustriert ist:
Höhenformeln fürs Rechtwinklige Dreieck
Sofern wir die Höhe ermitteln sollen, stehen uns zwei Formeln zur Verfügung, die wir ebenfalls im Video Teil 5 herleiten. Wir können die Höhe bereits ermitteln, wenn uns die Dreiecksseiten a, b und c gegeben sind. Genauso können wir die Höhe berechnen, wenn wir die Teilstrecken p und q kennen:
Aufgaben
1. Mit welchen Zeichen werden Dreieckspunkte beschriftet (Buchstaben, Zahlen oder griechische Buchstaben)?
2. Welche Zeichen benutzt man, um Dreiecksseiten zu benennen?
3. Wie werden Winkel verallgemeinert, also welche Zeichen werden zur Bezeichnung verwendet?
4. Zähle alle Dreiecksarten auf, die du kennst! Nach welchen beiden Kategorien werden Sie unterteilt?
5. Was ist eine Dreieckshöhe?
B. Sätze und Formeln bei Dreiecken
1. Wie lautet der Winkelsummensatz bei Dreiecken?
2. Mit welchem 'Hilfsmittel' wird der Winkelsummensatz bewiesen?
3. Wie berechnet sich die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks?
4. Was besagt der Satz des Thales?
C. Benutze den Satz von Pythagoras, um die fehlende Seite zu berechnen. Hinweis: Seite c ist stets die längste Dreiecksseite!
1. Dreieck A: a = 3 cm, b = 4 cm, c = ... cm
2. Dreieck B: a = 7 cm, b = 9 cm, c = ... cm
3. Dreieck C: a = ... cm, b = 12 cm, c = 15 cm
4. Dreieck D: a = 4 cm, b = ... cm, c = 85 cm
5. Dreieck E: a = 33,5 m, b = 15 m, c = ... m
6. Dreieck E: a = 3,5 km, b = ... km, c = 4500 m
D. Überprüfe mit Hilfe vom Satz des Pythagoras, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt:
1. Dreieck A: a = 9 cm, b = 4 cm, c = 1 cm
2. Dreieck B: a = 8 cm, b = 10 cm, c = 6 cm
3. Dreieck C: a = 13 cm, b = 4,5 cm, c = 5,5 cm
4. Dreieck D: a = 15 m, b = 5,5 m, c = 13,95 m
5. Dreieck E: a = 30 cm, b = 0,04 m, c = 5 dm
E. Aufgaben aus dem Alltag (Satz des Pythagoras):
1a. Ein Fußballfeld ist 90 m lang und 45 m breit. Ein Spieler rennt diagonal über das Spielfeld, von einer Eckfahne zur anderen. Wie viele Meter muss er rennen?
1b. Wenn der Fußballspieler 20 km/h läuft, wie lange dauert sein Sprint?
2. Ein Baum ist 4,50 m hoch und steht von uns 10 m entfernt. Wie lang müsste das Seil sein, das eine Verbindung herstellt zwischen uns (Bodenhöhe) und dem obersten Ende des Baumes?
3. Eine Leiter lehnt gegen eine Wand. Die Leiter ist 5,50 m lang, die Leiter steht unten 2,80 m von der Wand entfernt. Wie hoch ist die Wand?
4. Die Höhe eines Zirkuszeltes wird halbiert. Vorher war das Zelt 20 m hoch und wurde von 30 m langen Seilen gehalten. Wie lang müssen die neuen Seile sein?
5. Wenn die beiden kurzen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die gleiche Länge "a" haben, wie lang ist dann die lange Seite?
Die Lösungen erhaltet ihr hier als Abonnent!
Weitere Lektionen:
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TRI01: Einführung zur Trigonometrie -
TRI02: Kreis und Winkel -
TRI03: Rechtwinklige Dreiecke und Satz des Pythagoras -
TRI04: Sinus und Kosinus (einfach erklärt) -
TRI05: Sinus und Kosinus bei Allgemeinen Dreiecken (Sinussatz + Kosinussatz) -
TRI06: Tangens (einfach erklärt) -
TRI07: Einheitskreis -
TRI08: Trigonometrische Funktionen -
TRI09: Bogenmaß und Kreiszahl Pi -
TRI10: Trigonometrische Gleichungen


