TRI03: Rechtwinklige Dreiecke und Satz des Pythagoras

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Als nächstes behandeln wir Rechtwinklige Dreiecke und schauen uns hierbei auch den Satz des Pythagoras an (kostenloses Video). Nach dieser Lektion können wir übrigens mit dem Sinus loslegen! Satz des Pythagoras einfach erklärt



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Wer die 1. Binomische Formel übrigens vergessen hat, schaut sich am Besten nochmals die Lektion hierzu an.

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Wissen zur Lektion

Dreiecksbeschriftung

Die Eckpunkte des Dreiecks werden entgegen des Uhrzeigersinns mit A, B, C beschriftet. Der Winkel an einem Punkt erhält üblicherweise den Namen des Punktes mit kleinem griechischem Buchstaben (Punkt A → α, Punkt B → β, Punkt C → γ). Die einem Eckpunkt gegenüberliegende Seite erhält dessen Namen in Kleinbuchstaben (z. B. Punkt B liegt Seite b gegenüber).

Dreiecksarten

Jedes Dreieck ist ein "allgemeines Dreieck" (beliebiges Dreieck). Hat es jedoch besondere Eigenschaften, so erhält es eine andere Bezeichnung:

Dreieckshöhen

Eine Höhe wird senkrecht auf eine Dreiecksseite eingezeichnet und geht durch den darüberliegenden Punkt. Zum Beispiel steht Höhe b senkrecht auf Seite b und geht durch den gegenüberliegenden Punkt B.

Die Höhe (sofern sie innerhalb des Dreiecks liegt) teilt jedes Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke (die zueinander ähnlich sind):

Winkelsummensatz

Der Winkelsummensatz (auch Innenwinkelsummensatz genannt) lautet:
Alle drei Winkel (Innenwinkel) des Dreiecks ergeben zusammen 180 Grad.



Der Nachweis des Winkelsummensatzes kann über Wechselwinkel erfolgen:

Flächenberechnung

Die Fläche eines Rechtwinkligen Dreiecks lässt sich berechnen, indem man die Seiten a und b miteinander multipliziert (es ergibt sich eine Rechtecksfläche) und dann halbiert (wir erhalten die Dreiecksfläche), siehe folgende Grafik:

Merkt euch also die Flächenformel: A = a*b : 2

Der Satz des Pythagoras

Dieser mathematische Satz wurde erstmals in Euklids Werk "Elemente" (Buch I, § 47) dokumentiert. Weshalb er nach Pythagoras benannt wurde, ist nicht vollständig geklärt. Diogenes Laertios (3. Jh. n. Chr.) zitierte Apollodoros (4. Jh. v. Chr.) mit:

Als Pythagoras einst das berühmte Verhältnis der Seiten entdeckte,
opferte er (Gott) prächtige Ochsen.
Quelle: A Manual of Greek Mathematics, 1931/2003, T. L. Heath

Nachstehend sehen wir eine Grafik, die man heutzutage in dieser Form in den meisten Lehrbüchern wiederfindet. Mit bloßem Auge ist hier jedoch nicht zu erkennen, dass die Flächen a² und b² tatsächlich genauso groß sind wie die Fläche c². Beim Beweis weiter unten wird dies jedoch deutlich!

Beweis zum Satz des Pythagoras

Den Satz des Pythagoras haben wir im kostenlosen Video (Teil 2) visuell und leicht verständlich dargestellt. Nachstehend die schriftlichen Ausführungen hierzu (Tipp: Nutzt zum besseren Verständnis die obige Grafik):

Zeichnet man ein großes Quadrat, bei dem jede der Seiten aus den Teilstrecken a und b besteht, erhält man für die Quadratsfläche die Formel (a+b)*(a+b). Diese Flächenformel lässt sich mittels der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren zu: (a+b)*(a+b) = a² + 2*a*b + b²

Gleichfalls ergibt sich die gesamte Quadratsfläche (a+b)*(a+b) aber auch, wenn wir die weiße Quadratsfläche c² und die 4 Dreiecksflächen addieren. Dies kann als Gleichung wie folgt festgehalten werden: c² + 4 * (a*b : 2). Daraus erhalten wir: c² + 2*a*b

Beide vorgenannten Flächen entstammen aus (a+b)*(a+b), sind also gleich groß. Wir dürfen sie demnach gleichsetzen:
a² + 2*a*b + b² = c² + 2*a*b

Wenn wir nun auf beiden Seiten der Gleichung 2*a*b abziehen, erhalten wir:
a² + b² = c² → der Satz des Pythagoras!


Hier sei noch ein Zahlenbeispiel zum Beweis gegeben, so wie es auch im Video vorkommt:

Zusatz: Nachweis für Quadratsfläche c²

Wenn wir die 4 grünen rechtwinkligen Dreiecke in das große Quadrat (a+b)² legen, warum ergibt sich dann eigentlich ein Quadrat im Inneren?

Diese Frage können wir beantworten, indem wir den Winkelsummensatz nutzen. Der Winkelsummensatz besagt, alle Innenwinkel eines Dreiecks müssen zusammen 180 Grad ergeben. Ist ein Winkel rechtwinklig, müssen die beiden nicht-rechtwinkligen Winkel (Alpha und Beta) zusammen 90 Grad sein.
Bei der folgenden Grafik können wir erkennen, dass Alpha und Beta unten auf der Seite des großen Quadrats liegen und mit dem orangen Winkel einen gestreckten Winkel von 180 Grad bilden.

Da α + β + oranger Winkel = 180° sein müssen, kann der orange Winkel als Teil des gestreckten Winkels nur eine Größe von 90° (also γ) haben:

Das Geheimnis hinter dem Satz des Pythagoras

Im Video Teil 3 zeigen wir das Geheimnis, das sich hinter dem Satz des Pythagoras verbirgt. Tatsächlich findet ihr in den Lehrbüchern hierzu nichts (und wenn doch, sendet uns eine Nachricht!).

Nach einem Hinweis von Prof. Dr. Oldenburg (Goethe-Universität Frankfurt) konnten wir den Pythagoras-Beweis nach Einstein ausfindig machen - der leider relativ unbekannt ist und uns vorher auch nicht bekannt war. Dieser Beweis beschreibt das im Video dargestellte Prinzip in ähnlicher Form, sinngemäß stellt er einen Zusammenhang zwischen den Dreiecksflächen und den Quadratsflächen her.

Formell wird er so ausgedrückt: E_a = m*a², E_b = m*b², E_c = m*c²,
wobei E_a + E_b = E_c und damit auch m*a² + m*b² = m*c² → a² + b² = c²

"E" meint dabei die jeweilige Dreiecksfläche und "m" den Vergrößerungs-/Verkleinerungsfaktor, der für alle Flächen gilt.

Nachdem ihr das Video gesehen habt, werdet ihr diesen Zusammenhang verstehen können! Hier eine Vorschau:

Warum ist also a² + b² = c²?

Welches Geheimnis steckt nun wirklich dahinter? → Einfach gesagt: Die Quadratsflächen sind nichts weiter als die drei vergrößerten Dreiecksflächen in ihrer Form verändert. Die zwei Teildreiecke E_a + E_b ergeben das gesamte Dreieck E_c, daher müssen auch die um den gleichen Faktor vergrößerten Dreiecke (dann Quadrate a² + b²) das Gesamtdreieck (dann Quadrat c²) ergeben!

Flächenfaktor und Verhältnisse der Flächen zueinander
Aus dem Zusammenhang oben (Einstein) ergibt sich übrigens, dass der Verkleinerungs-/Vergrößerungsfaktor (um von den Dreiecksflächen auf die Flächeninhalte der Quadrate zu kommen - oder andersherum) für alle Flächen gleich ist. Dieser Flächenfaktor ergibt sich aus:
bzw.

Nehmen wir uns den ersten Teil der Gleichung (a²/E_a = b²/E_b) und stellen ihn um, so erkennen wir einen weiteren Zusammenhang:
Das Verhältnis der beiden Dreiecksflächen zueinander entspricht dem Verhältnis ihrer Quadratsflächen zueinander.

Allgemein:

Als Beispiel:

Wer noch weiter einsteigen möchte, sieht sich das Video Teil 3 an, wo wir uns in diesem Zusammenhang auch mit dem Thema Ähnlichkeit befassen.

Berechnung der Dreiecksfläche über die Höhe

Neben der oben gezeigten Flächenformel für Rechtwinklige Dreiecke (A = a*b:2) existiert eine weitere Formel, die im Video Teil 5 hergeleitet wird und nachfolgend illustriert ist:

Höhenformeln fürs Rechtwinklige Dreieck

Sofern wir die Höhe ermitteln sollen, stehen uns zwei Formeln zur Verfügung, die wir ebenfalls im Video Teil 5 herleiten. Wir können die Höhe bereits ermitteln, wenn uns die Dreiecksseiten a, b und c gegeben sind. Genauso können wir die Höhe berechnen, wenn wir die Teilstrecken p und q kennen:

Aufgaben

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