TRI05: Sinus und Kosinus bei Allgemeinen Dreiecken (Sinussatz + Kosinussatz)

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In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:

Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

In der vorigen Lektion haben wir Sinus und Kosinus kennengelernt. Diese können wir nun benutzen, um allgemeine Dreiecke zu berechnen. Hierzu nutzen wir den Sinussatz und den Kosinussatz, die wir in den Videos herleiten.

Auch stoßen wir beim allgemeinen Dreieck auf Winkel über 90° bis 180°, für die wir ebenfalls Sinus- und Kosinuswerte bestimmen können!

Dieses Mal ist das 3. Video kostenfrei, alle anderen Videos stehen Abonnenten zur Verfügung.

3. Video: Kosinussatz Herleitung & Anwendung


Herleitung des Kosinussatzes mit Hilfe vom Satz des Pythagoras und dem Kosinus. Bei gegebenen 2 Seiten und eingeschlossenem Winkel kann mit dem Kosinussatz die 3. Dreiecksseite bestimmt werden. Eselsbrücke fürs leichtere Merken der Formel.



Dazugehörige Videos sind für Kunden zugänglich:



Nachdem ihr die Videos gesehen habt, könnt ihr euer neues Wissen mit den Lernprogrammen testen.


Wissen zur Lektion


Im Folgenden der Sinussatz und der Kosinussatz (der aus 3 Formeln besteht):

Sinussatz

Kosinussatz

Sinustabelle bis 180°


Winkel Sinuswert Sinuswert gerundet
0,0000,000
10°0,173648177666930,174
20°0,3420201433256690,342
30°0,5000,500
40°0,6427876096865390,643
50°0,7660444431189780,766
60°0,8660254037844390,866
70°0,9396926207859080,940
80°0,9848077530122080,985
90°1,0001,000
100°0,9848077530122080,985
110°0,9396926207859080,940
120°0,8660254037844390,866
130°0,7660444431189780,766
140°0,6427876096865390,643
150°0,5000,500
160°0,3420201433256690,342
170°0,1736481776669310,174
180°0,0000,000


Kosinustabelle bis 180°


Winkel Kosinuswert Kosinuswert gerundet
1,0001,000
10°0,9848077530122080,985
20°0,9396926207859080,940
30°0,8660254037844390,866
40°0,7660444431189780,766
50°0,6427876096865390,643
60°0,5000,500
70°0,3420201433256690,342
80°0,173648177666930,174
90°0,0000,000
100°-0,17364817766693-0,174
110°-0,342020143325669-0,342
120°-0,500-0,500
130°-0,642787609686539-0,643
140°-0,766044443118978-0,766
150°-0,866025403784439-0,866
160°-0,939692620785908-0,940
170°-0,984807753012208-0,985
180°-1,000-1,000


Mathe-Programme


Sinus und Kosinus (Anwendung im Allgemeinen Dreieck)

Sinus und Kosinus (Anwendung im Allgemeinen Dreieck)

Mit der Dreieckshöhe als Gegenkathete können wir Sinus und Kosinus im allgemeinen Dreieck anwenden.


Sinussatz zur Dreiecksberechnung

Sinussatz zur Dreiecksberechnung

Hier könnt ihr beliebige Dreiecke mit dem Sinussatz berechnen. Hierzu sind nur 3 Werte anzugeben.


Kosinussatz zur Dreiecksberechnung

Kosinussatz zur Dreiecksberechnung

Mit diesem Programm könnt ihr beliebige Dreiecke mit dem Kosinussatz berechnen. Es sind nur 3 Werte nötig.


Sinus und Kosinus (1. Quadrant)

Sinus und Kosinus (1. Quadrant)

Sinus und Kosinus von 0 bis 90 Grad könnt ihr hier lernen. Die Hypotenuse ist stets 1 lang, so kann der Sinus-Wert an der GK und der Kosinus-Wert an der AK abgelesen werden.


Sinus und Kosinus (2. Quadrant)

Sinus und Kosinus (2. Quadrant)

Sinus und Kosinus von 90 bis 180 Grad könnt ihr hier lernen. Der Sinus-Wert kann an der GK und der Kosinus-Wert an der AK abgelesen werden.


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Untertitel

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Video Teil 1: Der Sinussatz


Willkommen zur nächsten Lektion! In dieser Lektion wollen wir uns anschauen, wie wir das Wissen zu Sinus und Kosinus bei allgemeinen Dreiecken anwenden können. Also besteht eine Möglichkeit, die Elemente des allgemeinen Dreiecks mittels Sinus und Kosinus zu berechnen?
Im letzten Teil hatten wir ja gesehen, dass Sinus und Kosinus nur beim rechtwinkligen Dreieck definiert sind. Das heißt: Hier ist der rechte Winkel, dann haben wir hier die Gegenkathete, die Ankathete, die Hypotenuse, und wir können die Sinus- und Kosinuswerte benutzen, um die einzelnen Seiten des Dreiecks zu berechnen. Beim allgemeinen Dreieck hingegen gibt es beliebige Varianten, wie wir dieses zeichnen können. Das heißt, wir brauchen hier irgendwo einen rechten Winkel, denn nur dann können wir Sinus und Kosinus anwenden. Und da hatten wir schon gelernt: Wenn wir eine Höhe einzeichnen, hier unten ist die Seite c, wir zeichnen jetzt die Höhe auf c ein, dann erhalten wir hier einen rechten Winkel und hier einen rechten Winkel, denn die Höhe ist immer senkrecht auf ihrer Seite und geht immer durch den gegenüberliegenden Punkt. Das heißt, beim beliebigen Dreieck können wir eine Höhe einzeichnen und erhalten dadurch zwei rechtwinklige Dreiecke, hier eins und hier eins. Und diesen Sachverhalt können wir benutzen, um einen Satz aufzustellen und einen neuen Zusammenhang schaffen, mit dem wir dann die Seiten berechnen können.
Schauen wir uns das an: Wenn wir also ein allgemeines Dreieck hier haben, können wir eine Höhe einzeichnen. Für unser Beispiel zeichnen wir die Höhe auf b ein. Und jetzt erhalten wir hier einen rechten Winkel und hier einen rechten Winkel beziehungsweise zwei rechtwinklige Dreiecke, für deren Winkel wir jeweils Sinus und Kosinus anwenden können. Hier an c haben wir den Winkel γ, und wir können jetzt eine Formel aufstellen, die mit der Seite h zusammenhängt; und h ist ja für den Winkel γ die Gegenkathete. Das heißt, wir können hier die Formel für den Sinus aufstellen. Die Formel lautet dann: sin(γ) ist gleich, und jetzt allgemein: Gegenkathete durch Hypotenuse, und jetzt wissen wir, die Gegenkathete von γ ist die Seite h; wir tragen also hier h ein, und die Hypotenuse, das ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks, also Seite a, die tragen wir hier ein. Wir haben also die Formel:
sin(γ) = h/a
Und jetzt stellen wir diese Formel so um, dass h allein auf einer Seite steht. Hier ist durch a, also multiplizieren wir a auf die linke Seite. Und wir erhalten
sin(γ) * a = h
Drehen wir die beiden Seiten noch um, und wir erhalten
h = sin(γ) * a
Sinus γ gibt uns einen Wert zwischen 0 und 1, mal die Hypotenuse und wir erhalten die Länge der Seite h, also die Höhe. Merken wir uns also diese Formel, dass sich die Seite h ergibt, indem wir den Sinus des Winkel γ mit a multiplizieren. Notieren wir die Formel hier oben und löschen das.
Als nächstes schauen wir uns das rechte rechtwinklige Dreieck an. Denn hier haben wir ebenfalls die Seite h enthalten, und die Seite h ist Gegenkathete des Winkel α. Das heißt, es lässt sich ebenfalls über den Sinus ein Zusammenhang herstellen, denn h ist ja die Gegenkathete von α. Notieren wir das: Also allgemein Sinus von Winkel α ist gleich Gegenkathete durch Hypotenuse. Jetzt schauen wir wieder: Was ist die Gegenkathete? Hier ist α, und ihm gegenüber liegt die Höhe h. Also können wir h hier eintragen. Und was ist jetzt die Hypotenuse? Für dieses rechtwinklige Dreieck haben wir hier eine kurze Seite, hier eine kurze Seite und hier die längste Seite, also Seite c ist unsere Hypotenuse. Als nächstes wollen wir diese Formel wieder nach h umstellen. Das heißt, wir multiplizieren c hier rüber, und erhalten:
sin(α) * c = h
Drehen wir beide Seiten noch um, und wir sehen: h ergibt sich aus Sinus α mal c.
Gut, jetzt haben wir diese Formel hier und hier oben die Formel, die wir zuerst ermittelt hatten; schreiben wir sie jetzt hier hin, und wir erkennen, dass wir die Höhe einmal über das linke Dreieck ausdrücken können und die Höhe einmal über das rechte Dreieck ausdrücken können. Und da dieses Ergebnis hieraus die Höhe ergibt, und dieses Ergebnis hier die Höhe ergibt, sind die beiden auch gleich. Also wenn h und h hier gleich sind, müssen auch die beiden Werte gleich sein. Das heißt, wir dürfen sie einfach gleichsetzen. Und was haben wir jetzt damit erreicht? Wir sehen, dass wir mit Hilfe dieser Formel zum Beispiel die Seite c bestimmen können, wenn wir den Winkel α haben, den Winkel γ haben und die Seite a. Das heißt: Aus zwei Winkeln und einer Seite lässt sich eine weitere Seite des Dreiecks berechnen. Diese Formel können wir noch eleganter schreiben:
Lasst uns a auf die linke Seite rüberdividieren, und jetzt wollen wir das c hier rüber bekommen, das heißt, um es hier rauszubekommen, dividieren wir durch c. Und wir sehen, wir erhalten eine angenehme Formel, die da lautet:
sin(α)/a verhält sich genauso wie sin(γ) zu c.
Und wie wir bei den Brüchen gelernt hatten, dürfen wir auf beiden Seiten auch den Kehrwert, die sogenannte „Reziproke“ bilden, wir drehen also Zähler und Nenner um, wir können also aufschreiben:
a/sin(α) ergibt den gleichen Wert wie c/sin(γ).
An dieser Stelle können wir also festhalten, dass wir die Höhe h nicht mehr brauchen, um ein allgemeines Dreieck zu berechnen; wir können direkt über die Seiten und Sinuswerte gehen! Wenn wir also die Seite a und den Winkel α kennen und uns dann noch der Winkel γ gegeben ist, so können wir die Seite c ausrechnen. Hierzu müssen wir einfach a durch Sinus α rechnen und mit Sinus γ multiplizieren. Genauso, wenn wir Seite c kennen, γ und α, können wir Seite a berechnen. Wir können sogar die Winkel berechnen. Wenn wir die Seite a haben und die Seite c und den Winkel γ, dann können wir α berechnen. Haben wir Seite a und c und den Winkel α, dann können wir γ berechnen. Ihr seht: Eine sehr handliche Formel für das Berechnen von allgemeinen Dreiecken. Wir benötigen jetzt keine rechtwinkligen Dreiecke mehr; diese Gleichung, dieser Satz lässt sich sofort anwenden.
Natürlich steht jetzt noch die Frage: Wie können wir jetzt auf die Seite b kommen? Und da können wir die gleiche Herleitung wählen, die wir am Anfang des Videos hatten. Wir nutzen jetzt jedoch nicht die Höhe von b, sondern wir nehmen die Höhe von c. Die tragen wir also hier ein. Und hier können wir jetzt die Beziehung zwischen Sinus β und a herstellen und Sinus α und b. Also Sinus von β ergibt sich aus – richtig! - Gegenkathete durch Hypotenuse, also h durch a. Und der Sinus von α kann ausgedrückt werden mit h durch b. Sinus α ist gleich h durch b. Und natürlich, wie zuvor auch schon: Hier multiplizieren wir das a rüber, und hier multiplizieren wir das b rüber. Und wir erkennen: h ist h, also ist sin(β) mal a das gleiche wie sin(α) mal b. Wir schreiben die beiden nebeneinander, wir setzen sie gleich, und dividieren jetzt das b hier rüber, und wir dividieren das a hier rüber. Dann steht dort:
Sinus β zu b ist das gleiche wie Sinus α zu a, dann dürfen wir noch Zähler und Nenner jeweils verdrehen, und wir erhalten
b/sin(β) = a/sin(α)
Nehmen wir das in der Mitte hier weg und schreiben wir diesen Term hier nach oben, dann erkennen wir, dass a/sin(α) c/sin(γ) ist und a/sin(α) und auch b/sin(β). Das heißt, wir können diesen Term hier hierhin schreiben. Und jetzt erkennen wir, schreiben wir das a/sin(α) noch nach vorne, einen sehr schönen Zusammenhang zwischen den Seiten und den Sinuswerten. Wir können also die Seiten jedes allgemeinen Dreiecks berechnen und auch deren Winkel mit dieser Formel. Und diese Formel stellt wie gesagt einen Zusammenhang der jeweiligen Seite zum Sinuswert des gegenüberliegenden Winkels auf. Und dieser muss immer gleich sein, also a zu Sinus α, also Seite a durch Sinus α muss genauso groß sein wie b durch Sinus β; und das muss auch so groß sein wie c durch Sinus γ. Und da hier in jedem Teil der Gleichung jeweils ein Sinus vorkommt, spricht man bei dieser Gleichung auch von dem „Sinussatz“. Ihr könnt also mit diesem Sinussatz aus zwei Seiten und einem Winkel einen Winkel bestimmen, oder Ihr könnt mit zwei Winkeln und einer Seite eine weitere Seite bestimmen.
Ein kleines Beispiel:
Gegeben sei uns ein allgemeines Dreieck mit der Seite a, die 7 Zentimeter lang ist, mit dem Winkel α, der 40 Grad groß ist, und der Winkel β, der beträgt 60 Grad. Aus diesen drei Werten sollen wir also jetzt das gesamte allgemeine Dreieck berechnen. Wie machen wir das? Wir haben hier unseren Sinussatz und können diesen Teil benutzen, um das gesuchte b zu ermitteln. Hierzu brauchen wir c durch Sinus γ nicht. Schreiben wir unsere Lösungsgleichung nach unten und stellen um nach b, weil die Seite b wollen wir als erstes ermitteln. Das heißt, Sinus β wird hier rüber multipliziert. Dann setzen wir ein: a ist 7 Zentimeter, α ist 40 Grad, und β ist 60 Grad. Dann brauchen wir jetzt nur noch unseren Taschenrechner rausnehmen und das hier eingeben. Wir rechnen also: 7 Zentimeter durch Sinus 40 Grad, 7 durch Sinus 40, und jetzt noch mal Sinus 60 Grad, mal Sinus 60, ergibt 9,43 Zentimeter gerundet. b ist also rund 9,43 Zentimeter. Halten wir b hier fest. Und jetzt können wir den Sinussatz noch einmal benutzen, um c und γ zu berechnen. Und γ können wir aus α und β ermitteln, denn wir wissen: In einem Dreieck sind alle drei Winkel 180 Grad groß. Also wir schreiben: α + β + γ = 180°, setzen α und β mit 40 und 60 hier ein, das heißt, wenn wir von 180 die 100 abziehen, bleiben 80 übrig, unser Wert für γ. Und schon können wir mit Hilfe des Sinussatzes c bestimmen. Und das ist uns überlassen, ob wir c und Sinus γ mit b und Sinus β vergleichen oder c und Sinus γ mit a und Sinus α vergleichen. Nehmen wir den hinteren Teil. Wir setzen also γ ein, 80 Grad, wir setzen b ein mit 9,43 Zentimetern, und unser β, das ist 60 Grad. Jetzt noch Sinus 80 Grad hier rüber multiplizieren und diesen Term hier im Taschenrechner ausrechnen: 9,43 dividiert durch Sinus 60 und jetzt noch multipliziert mit Sinus 80 ergibt rund 10,72 Zentimeter für die Seite c. Das heißt, wir haben jetzt alle drei Winkel bestimmt sowie alle drei Seiten des Dreiecks, und das alles mit Hilfe des Sinussatzes.
Auf www.echteinfach.tv findet Ihr übrigens ein Programm, mit dem Ihr solche Aufgaben prüfen könnt. Prüfen wir unsere Aufgabe: Wir hatte ja a mit 7 Zentimeter, α mit 40 Grad und β mit 60 Grad gegeben. Hier ist das Programm: Sinussatz für Dreiecksberechnung. Und jetzt geben wir ein hier unten a, b, α, β; also wir hatten gesagt, a mit 7 Zentimeter, α mit 40 Grad und β mit 60 Grad. Mit ENTER bestätigen und Ihr seht: b ist 9,43 Zentimeter lang, γ ist 80 Grad groß, und die Seite c ist rund 10,72 Zentimeter lang; also genau die Werte, die wir auch hier berechnet hatten.
Falls Ihr übrigens einmal zwei Seiten gegeben habt und einen Winkel und ihr den nächsten Winkel bestimmen sollt, macht Ihr das wie folgt; als neues Beispiel wählen wir folgende Werte:
a mit 11 Zentimeter, b mit 5 Zentimeter und α 75 Grad, gesucht ist β. Dann stellt Ihr wieder den Sinussatz auf, c zu Sinus γ brauchen wir nicht, den können wir herausnehmen, und jetzt wollen wir β, das heißt, wir müssen nach β umstellen, Kehrwert des Bruches auf beiden Seiten der Gleichung, und jetzt das b hierüber multipliziert; und dann können wir die Werte einsetzen, für α 75 Grad, Seite a ist 11 Zentimeter lang, und die Seite b ist 5 Zentimeter lang. Dann wieder den Taschenrechner herausgenommen und eingegeben: Sinus 75 Grad dividiert durch 11 und multipliziert mit 5. Wir erhalten 0,439 und so weiter für den Sinuswert von β. Wir erinnern uns: Wir können mit Hilfe des Arcussinus den Sinuswert zurückwandeln in einen Winkel. Das heißt, wir müssen die SHIFT-Taste benutzen, dann die Sinus-Taste drücken, damit haben wir sin-1, also den Arcussinus, und jetzt geben wir ein: 0,439057, den gerundeten Sinuswert. Und wir erhalten rund 26 Grad für β, die Lösung unserer Aufgabe.


Video Teil 2: Sinus und Kosinus bis 180 Grad


Willkommen zum nächsten Teil! Schauen wir uns jetzt an, wie wir Sinus- und Kosinuswerte für Winkel bis 180 Grad bestimmen können.
Wir hatten im vorigen Teil den Sinussatz kennengelernt und auch gesehen, wie wir diesen anwenden bei allgemeinen Dreiecken. Was wir noch nicht gesagt hatten ist, dass unser allgemeines Dreieck ja auch ein stumpfwinkliges Dreieck werden kann. Wir hatten uns bisher die spitzwinkligen Dreiecke angeschaut, das heißt: Alle drei Winkel sind zwischen 0 und 90 Grad groß. Es kann aber auch vorkommen, dass wir einen Winkel, in dem Fall hier α, mit einem Wert von über 90 Grad haben. Wie können wir dann diesen Sinuswert bestimmen, beziehungsweise gilt unser Sinussatz noch?
Wir hatten ja den Sinus von α und β im allgemeinen Dreieck über die Höhe definiert. Sinus von α ist ja h durch b, und Sinus von β ist ja h durch a. Das heißt, wir halten fest: Sinus α hat h als Gegenkathete, und Sinus β hat h als Gegenkathete. Wenn wir jetzt die Situation unseres Dreiecks ändern, also wir machen es stumpfwinklig, ist die Höhe außen zu zeichnen, auf die verlängerte Seite c. Und für den Winkel β sehen wir: Wir haben immer noch hier ein rechtwinkliges Dreieck, und β ist immer noch h durch a. Also a ist immer noch die Hypotenuse, und h ist immer noch die Gegenkathete. Für unseren Winkel α gilt das gleiche: α hat immer noch h als Gegenkathete und die Seite b als Hypotenuse. Nur wir haben jetzt hier kein innenliegendes rechtwinkliges Dreieck, sondern ein außenliegendes als Referenz! Wir müssen also auf die linke Seite schauen zu diesem Dreieck und dann hier Sinus α gleich h durch b herstellen.
Schauen wir uns das noch etwas anders an: Hier soll jetzt ein allgemeines Dreieck sein mit den grünen Außenlinien, und in diesem ersten Quadranten können wir für alle drei Winkel Größen zwischen 0 und 90 Grad einstellen. Wenn wir jetzt die Höhe einzeichnen auf diese Seite, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck. Und wir können für den Winkel α den Sinus bestimmen. Und der Sinus ist direkt an der Höhe ablesbar, da wir, wie wir es schon bei der Einführungslektion gemacht hatten, die Hypotenuse mit der Länge 1 festlegen.
Wir merken uns also, dass wir den Sinuswert direkt an der Höhe ablesen können. Und wenn wir jetzt ein stumpfwinkliges Dreieck schaffen, also α ist jetzt über 90 Grad groß, dann sehen wir: Hier ist die Hypotenuse, die hellgrüne Linie, und hier ist die Gegenkathete, die blaue Linie. Und hier ist der entsprechende Sinuswert für den Winkel. Der Winkel ist hier aufgespannt, doch um den Sinuswert zu ermitteln, nehmen wir dieses Dreieck auf der linken Seite, dieses rechtwinklige Dreieck. Blenden wir als nächstes das allgemeine Dreieck aus und konzentrieren uns jetzt nur noch auf den Winkel und seinen Sinuswert. Und um also die Sinuswerte zwischen 90 und 180 Grad zu untersuchen, schauen wir uns nochmal die Sinuswerte zwischen 0 und 90 Grad an, die wir, wie wir gelernt haben, auch auf der y-Achse ablesen können und Sinuswerte zwischen 0 und 1 erhalten. Wir können ja, um jetzt hier drüben ein Dreieck zu erstellen, einfach dieses Dreieck herüberspiegeln. Tun wir das! Dann sehen wir, dass jeder Winkel einen gegenüberliegenden Winkel hat. Also, wenn wir bei 90 Grad anfangen, können wir zum Beispiel auf 100 Grad gehen, dann haben wir hier 80 Grad und entsprechend hier 100 Grad. Also von 90 Grad 10 weiter gegangen, dann sind wir bei 100, und von 90 10 zurück gegangen, dann sind wir bei 80 Grad. Und wir sehen, da das Dreieck gespiegelt wurde, haben wir den gleichen Sinuswert. Also die blaue Linie ist 0,985mal so lang wie die grüne Linie im rechten Dreieck aber auch im gespiegelten Dreieck auf der linken Seite. Und da können wir jetzt hier die Winkel durchgehen, und wie Ihr seht, jeder Winkel hat einen gegenüberliegenden Winkel, und beide haben den gleichen Sinuswert. Und wenn wir jetzt auf 180 Grad gehen beziehungsweise auf 0 Grad, dann ist der Sinuswert 0, also die Höhe hat 0mal die Länge der Hypotenuse - beziehungsweise blicken wir auf die y-Achse, dort haben wir die Höhe 0. Und wie gesagt, indem wir dieses Dreieck hier rüberspiegeln, ändern wir die Orientierung, und zwar ist die Richtung nicht mehr nach rechts, sondern dann nach links. Doch der Sinus bleibt dabei gleich, er bleibt positiv, also zwischen 0 und 1!
Im Gegensatz dazu haben wir den Kosinus. Der Kosinus steht an der Ankathete und kann an der x-Achse abgelesen werden. Wie wir hier sehen, sind die Werte positiv, also zwischen 0 und 1. Wenn wir jetzt jedoch auf die linke Seite herübergehen, also Winkel über 90 Grad haben, seht Ihr, dass die Werte negativ sind! Also hier haben wir die Werte von 0 bis 1, spiegeln wir das rüber, haben wir die Werte von 0 bis -1. Das heißt, der Unterschied hierbei ist, blenden wir mal den Sinus aus, dass der Kosinus für Winkel größer 90 Grad negativ ist! Hier im ersten Quadranten, Winkel 0 bis 90 Grad, positiv – und dann Winkel 90 bis 180 Grad, negativ. Diesen Unterschied bitte unbedingt merken!
Und der Kosinus von 180 Grad ist dann nicht 1, sondern -1.
Ihr merkt Euch also: Mit der Spiegelung verändert sich das Vorzeichen des Kosinuswertes.
Eine Berechnung zum Kosinus, positiv und negativ, schauen wir uns im nächsten Teil beim „Kosinussatz“ an.
Für diesen Teil schauen wir nochmal auf den Sinuswert, denn dieser hat ja zwei Winkel, die zutreffen. Das heißt, der Sinuswert von 0,819 kann den Winkel 125 Grad bedeuten, aber kann auch den Winkel 55 Grad bedeuten. Wenn wir diesen Sinuswert in den Taschenrechner eingeben, und zwar erhalten wir den Winkel über den Arcussinus, und jetzt 0,819, dann zeigt uns der Rechner rund 55 Grad an, unseren Wert hier drüben, jedoch nicht den auf dieser Seite! Es könnte aber auch dieser sein, das erkennen wir jedoch nur an der Aufgabe selbst! Jetzt steht jedoch die Frage, wenn wir 55 Grad haben, wie erhalten wir dann den gegenüberliegenden Winkel? Der Taschenrechner gibt uns ja nur diesen Winkel an. Überlegen wir: Wenn wir von 0 bis 55 Grad gehen, ist das das gleiche, als ob wir von 180 55 Schritte zurückgehen auf 125 Grad. Das heißt, hier 0 plus 55 ist das gleiche wie 180 minus 55 in Bezug auf den Sinuswert. Und genau das halten wir auch so fest. Sinus von 55 Grad ist ja 0,819, das steht auch hier unten, aber dieser Sinuswert 0,819 ergibt sich auch für Sinus von 125 Grad. Und wir sehen, wir können also 125 auch schreiben als 180 minus 55. Das heißt, wir erhalten diesen Winkel immer, indem wir 180 minus den aktuellen Winkel rechnen.
Ein weiteres Beispiel: Erhalten wir den Sinuswert 0,5, wissen wir, dass der Winkel 30 Grad ist, aber je nach Aufgabe könnte der Winkel auch 180 minus 30 sein, also 150 Grad.
Wie Ihr seht, hängt das immer von der Aufgabe ab, also von der gestellten Situation.
Schauen wir uns als nächstes eine Beispielaufgabe hierzu an: Sagen wir, wir erhalten diese Skizze, und wir sehen in der Skizze, α ist stumpfwinklig. Dann erhalten wir folgende Werte: Man gibt uns die Seite a mit 17 Zentimetern, Seite b mit 10,12 Zentimeter und den Winkel β mit 34 Grad. Gesucht sind α, γ und c. Da nehmen wir uns als erstes den Sinussatz und stellen auf :
a/sin(α) = b/sin(β), und wir brauchen das hier hinten noch nicht, und jetzt setzen wir die 17 Zentimeter ein, b mit 10,12 Zentimetern und β mit 34 Grad. Jetzt stellen wir nach sin(α) um, das heißt, wir machen den Kehrwert auf beiden Seiten, und dann multiplizieren wir die 17 Zentimeter hier rüber und tippen das in den Taschenrechner ein. Sinus 34 Grad dividiert durch 10,12 und jetzt noch mal die 17 Zentimeter, und wir erhalten einen Sinuswert von rund 0,939356. Als nächstes nutzen wir den Arcussinus, um den Winkel hieraus zu ermitteln. Wir schreiben also sin-1 von unserem Sinuswert ist gleich unser Winkel α, wir geben also in den Taschenrechner ein: SHIFT Sinus, damit haben wir Arcussinus, und jetzt die 0,939356 und wir erhalten rund 70 Grad. Dies ist jedoch ein spitzer Winkel, denn er ist kleiner als 90 Grad. Am Anfang der Aufgabe hatten wir jedoch erfahren, dass es sich bei α um einen stumpfen Winkel handelt. Das heißt, er kann nicht 70 Grad sein, er muss einen Wert zwischen 90 und 180 Grad haben. Und wie wir gelernt hatten, können wir den entsprechenden stumpfen Winkel ermitteln, indem wir 180 Grad minus 70 Grad rechnen. Also α ergibt sich aus 180 Grad minus 70 Grad, und – richtig – das sind 110 Grad, unser stumpfer Winkel. Und jetzt können wir gerne den Taschenrechner rausnehmen und eingeben: Sinus von 110 Grad ist 0,939 und so weiter, und wenn wir jetzt aus diesem Sinuswert den Arcussinus ziehen, also SHIFT Sinus dieser Sinuswert, erhalten wir rund 70 Grad, denn der Taschenrechner kennt nur 0 bis 90 Grad für die positiven Sinuswerte. Und das sind auch unsere 70 Grad, die wir hiervor ermittelt hatten.
Gut, tragen wir die 110 Grad hier ein, und ermitteln wir noch schnell γ und c.
Also γ erhalten wir über den Innenwinkel-Summensatz, der lautete: α + β + γ = 180 Grad, α und β eingesetzt, und wir sehen: 180 – 34 – 110 ergibt 36 Grad, unser Wert für γ. Und jetzt noch Seite c über den Sinussatz: Setzen wir a/sin(α) und c/sin(γ) gleich, nach c umstellen, dann noch α, γ und Seite a einsetzen und im Taschenrechner ausrechnen: Wir erhalten für c 17/sin(110) multipliziert mit sin(36) ist gleich rund 10,63 Zentimeter – der letzte Wert, den es zu ermitteln galt.
Wie wir sehen, haben wir also in relativ kurzer Zeit alle fehlenden Werte berechnet.
Lasst uns noch unser Programm benutzen und schauen, ob das richtig berechnet wurde. Wir haben hier unser Programm und geben jetzt die drei Werte ein, die gegeben waren: Seite a mit 17 Zentimetern, Seite b mit 10,12 Zentimetern und β mit 34 Grad. Und das Programm gibt uns, wie Ihr seht, ein spitzwinkliges Dreieck. Wir haben jedoch gesagt, α ist nicht spitzwinklig, sondern stumpfwinklig. Das heißt, wir rechnen: 180 – 70, und das sind 110. Bestätigen wir, und wir sehen, wir haben jetzt hier unseren stumpfen Winkel, und auch hier Seite c 10,63 Zentimeter und γ mit 36 Grad, genau wie bei unserer Aufgabe. Wir haben unsere Aufgabe also richtig gelöst. Und wie gesagt, hätten wir 17, 10,12 und β 34 Grad eingegeben, würde hier automatisch der spitze Winkel berechnet, da das Programm ja nicht weiß, ob wir spitzwinklig oder stumpfwinklig benötigen.
An der Stelle müsst Ihr also hier korrigieren: 180 – 70 = 110, und Ihr erhaltet das stumpfwinklige Dreieck mit Seite c und γ berechnet.


Video Teil 3: Kosinussatz Herleitung & Anwendung


Wie Ihr bei Euren Berechnungen schnell feststellen werdet, ist der Sinussatz nicht immer ausreichend, um alle Elemente des Dreiecks zu bestimmen. Nehmen wir den Fall an, dass Ihr die Seite a gegeben habt, dazu noch den Winkel β und die Seite c. An dieser Stelle stoßt Ihr an die Grenzen des Sinussatzes, denn jetzt können wir nicht α, Seite b oder γ bestimmen. Denn wenn wir uns jetzt nur diese Seite hier angucken: Hier haben wir zwei Unbekannte enthalten. Und gucken wir uns die rechte Seite an, haben wir hier zwei Unbekannte enthalten. Und eine Gleichung mit zwei Unbekannten lässt sich nicht konkret lösen. Das heißt, hier benötigen wir einen anderen Satz, den wir Euch im folgenden zeigen werden, und der heißt – nicht Sinussatz – sondern „KoSinussatz“.
Doch bevor wir uns auf den Kosinussatz stürzen, wiederholen wir noch mal kurz, was wir bereits zum Kosinus gelernt hatten. Der Kosinus entsteht, wenn wir die Ankathete durch die Hypotenuse teilen. Und wir hatten gesagt: Wenn die Hypotenuse 1 ist, können wir hier bei diesem Halbkreis den Kosinus immer an dieser roten Linie unten auf der x-Achse ablesen. Das heißt, der Kosinus ist abzulesen, indem wir von unserem Punkt nach unten gucken auf die x-Achse und hier den Wert 0,891 haben. Gehen wir also auf 0 Grad, liegt der Punkt sogar direkt auf der 1. Wenn wir jetzt den Winkel erhöhen, wie zum Beispiel auf 60 Grad, gucken wir nach unten auf die x-Achse, und wir haben einen Wert von 0,5. Bei 90 Grad haben wir einen Wert von 0, also gar keine Breite mehr, und jetzt, das hatten wir ja auch schon gelernt, bei stumpfen Winkeln ist der Kosinus negativ. Also wir haben bei Winkeln zwischen 90 und 180 Grad negative Werte zwischen 0 und -1! 180 Grad ist -1. Und auch hier gilt: Wir haben hier den Punkt des Winkels, wir gucken runter auf die x-Achse und da sind wir bei -0,515. Gut, soviel zur Wiederholung, auf geht’s zum Kosinussatz!
Nehmen wir uns wieder ein allgemeines Dreieck, und auch schon wie bei Sinussatz benötigen wir hier ebenfalls die Höhe. Zeichnen wir also auf Seite b die Höhe von b ein und beschriften jetzt außerdem die zwei Strecken, die durch h entstehen: h teilt die Strecke b in die Strecke d und e. Und wir sehen, addieren wir d und e, so erhalten wir b. Und jetzt benutzen wir den Satz des Pythagoras. Den hatten wir ja bereits kennengelernt, und wir benutzen ihn für dieses rechtwinklige Dreieck. Wir sehen, dass hier die Seite a die längste Seite ist und das d und h, die beiden kürzeren Seiten die Katheten sind. Das heißt, wir können jetzt aufschreiben nicht a2 + b2 = c2, sondern mit unseren anderen Variablen:
d2 + h2 = a2
Und schauen wir hier rechts: Für dieses rechtwinklige Dreieck gilt:
h2 + e2 = c2
Notieren wir das. Und aus diesem Zusammenhang heraus wollen wir jetzt den Kosinussatz entwickeln. Unser Ziel ist es, am Ende eine Gleichung zu erhalten, die die Seiten a, b und c enthält und nur einen Winkel, beziehungsweise: Wir wollen eine Formel finden, mit der wir aus zwei Dreieckseiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Dreieckseite berechnen können.
Dazu müssen wir bei unserer gewählten Formel, drehen wir hier noch die beiden Seiten um, die Variablen d und h so ersetzen, dass da b und c stehen, denn a ist ja gesucht.
Gut, h2 haben wir ja schon hier zu stehen, wenn wir also diese Formel umstellen nach h2, können wir dieses ersetzen. Damit h2 hier links alleine steht, muss e2 auf die rechte Seite rüber. Jetzt können wir für h2 das c2 – e2 einsetzen. Als nächstes gilt es, das e2 zu ersetzen. Und da schauen wir unsere Grafik, das d zusammen mit dem e ergibt die Seite b. Wollen wir also d ermitteln, müssen wir von b das e abziehen. Das heißt, dieses d kann mit b minus e ersetzt werden. Und schreiben wir der Übersichtlichkeit wegen unsere Formel für a2 nach unten. Und bei dieser Gleichung haben wir a, b und c und noch das e, das wollen wir wegbekommen, vorher müssen wir das jedoch ausrechnen. b – e2, da erinnern wir uns an die 2. Binomische Formel; lösen wir das also hier separat auf, wir erhalten also: b2 – 2 mal und jetzt b mal e und schließlich noch + e2. Das heißt (b – e)2 ist nichts weiter als b2 - 2*b*e + e2. Das hier setzen wir also jetzt hierfür ein. An dieser Stelle erkennen wir, dass wir ein + e2 zu stehen haben und hier ein -e2, die sich beide zu 0 auflösen.
Als letztes gilt es, die Variable e zu ersetzen. Und schauen wir hier: e ist diese Strecke. Und an dieser Stelle können wir uns den Kosinus zu Hilfe nehmen. Hier ist unser Winkel α, und für α ist die Seite e die Ankathete. Wir haben hier unser rechtwinkliges Dreieck, Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse – das heißt, der Kosinus von α ist Seite e dividiert durch Seite c. Das halten wir so fest, wir schreiben also hin:
Kosinus von Winkel α ergibt sich aus Ankathete durch Hypotenuse, Ankathete ist die Seite e und die Hypotenuse, die längste Seite, ist die Seite c. Und unser Ziel ist ja, e zu ersetzen, hier unten in dieser Formel, das heißt, wir wollen e alleine hier zu stehen haben, c multiplizieren wir hier rüber, und wir erhalten für e ist gleich Kosinus α mal c. Also Seite e ergibt sich, indem wir den Kosinuswert bestimmen und den multiplizieren mit Seite c. Und jetzt können wir dieses e hier unten mit diesem e ersetzen. Und schon haben wir eine Formel, bei der nur a, b, α und c vorkommen, also ein Winkel und alle drei Seiten. Wir benötigen also nur zwei Seiten, in dem Fall b und c, und einen Winkel α, also den eingeschlossenen Winkel - Seite b, Seite c, α ist eingeschlossen -, und wir können die Seite a bestimmen. Und dieser Satz, den nennt man „Kosinussatz“.
Also in den Büchern findet Ihr das c2 hier vor noch geschrieben, tun wir das, und das ist also der Kosinussatz.
a2 = b2 + c2 – 2*b*cos(α) * c
Und hier das c, schreibt man auch hierhin. Also wir haben b2 + c2 addiert, ziehen davon 2*b*c*cos(α) ab und erhalten a2. Um a zu erhalten, bräuchten wir nur noch die Wurzel aus diesem Ergebnis zu ziehen.
Genau auf dem gleichen Weg, den wir Euch gerade gezeigt hatten, können wir jetzt den Kosinussatz für b2 bestimmen; wir zeichnen hierzu die Höhe auf c ein, dadurch entstehen die Strecken d und e, und dann können wir für b aufstellen: h2 + d2 = b2. Und blicken wir auf dieses Teildreieck:
h2 ergibt sich, indem wir a2 – e2 rechnen. Und unser d ergibt sich, indem wir von c e abziehen. Jetzt können wir wie folgt ersetzen: Das d mit c minus e, und das h2 mit a2 minus e2. Jetzt rechnen wir diesen Teil hier aus mit der Binomischen Formel, stellen fest, dass sich e2 und -e2 auflösen; jetzt gilt es noch, das e zu ersetzen, und das e kriegen wir über den Winkel β raus, denn Kosinus β ist e durch a, also erhalten wir e, indem wir Kosinus β mit a multiplizieren. Also e können wir jetzt ersetzen mit Kosinus β mal a. Und als letztes der Form halber das a2 nach vorne, und das mal a hier vor das c. Und schon haben wir unseren Kosinussatz für b2.
b2 = a2 + c2 – 2*a*c*cos(β)
Und analog hierzu könnten wir jetzt hier natürlich den Satz für c2 aufstellen, der da heißt:
c2 = a2 + b2 – 2*a*b*cos(γ)
Und hier seht Ihr auch den entsprechenden Rechenweg.
Wir sehen also, der Kosinussatz besteht aus drei Formeln, einmal für a2, für b2 und für c2, hier in der Übersicht.
Diejenigen von Euch, die Probleme haben, sich den Kosinussatz einzuprägen, können sich hier eine Eselsbrücke bauen:
Denn wie wir sehen, haben wir hier immer das gleiche Muster:
Ein Quadrat, noch ein Quadrat, minus zweimal und dann die beiden Seiten mal Kosinus einem Winkel. Das heißt, das können wir uns einprägen. Wir merken uns als erstes: Wir müssen a, b und c wie den Satz des Pythagoras schreiben. Und jetzt noch: Minus zweimal die beiden Seiten b und c; und dann mal den Kosinus von welchem Winkel? Wenn hier die Seite a ist, die wir suchen, ist ihr gegenüberliegender Winkel α. Also schreiben wir α hier rein. Und schon haben wir den Kosinussatz für a aufgestellt.
Genauso geht das für b: Wenn wir hier b2 suchen, können wir hier a und c eintragen, und es ist zweimal a mal c mal und jetzt nicht Kosinus α, sondern Kosinus β.
Und, ganz klar, genauso einfach dann für c: c2 = a2 + b2 mal 2 mal a mal b mal, und jetzt suchen wir c, also kommt hier γ rein.
So könnt Ihr Euch den Kosinussatz wesentlich einfacher merken. Und denkt immer dran: Die beiden werden addiert und der Rest abgezogen, also hier muss immer ein „minus“ stehen.
Gut, im nächsten Teil schauen wir uns an, wie wir den Kosinussatz in Form von Flächen deuten können und wie wir vom Kosinussatz zum Satz des Pythagoras kommen.
Und anschließend lösen wir einige Dreiecksaufgaben mit Hilfe des Kosinussatzes.


Video Teil 4: Kosinussatz - Herleitung über Flächen


Um den Kosinussatz noch besser zu verstehen, können wir ihn über Flächen herleiten und uns so vor Augen führen. Auch verstehen wir dann, was diese 2*b*c*cos(α) als Fläche bedeuten.
Um dies am besten zu veranschaulichen, wählen wir uns ein stumpfwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und c, und dann hatten wir gelernt: Wir dürfen bei diesem Dreieck die Höhe einzeichnen. Und in dem Fall zeichnen wir die Höhe auf die Seite b. Dazu verlängern wir die Seite b, und dann zeichnen wir h senkrecht nach oben durch den Dreieckspunkt. Und diese kleine Strecke, die hier noch entsteht, die können wir g nennen. Wie wir erkennen, entsteht ja so ein rechtwinkliges Dreieck. Und wenn wir uns hier den Satz des Pythagoras vornehmen, können wir also aufstellen, dass die Seite ins Quadrat und die Seite ins Quadrat gleich die lange Seite ins Quadrat sind. Und das schreiben wir auch so auf: h2 plus – und jetzt haben wir hier diese Seite, und die ergibt sich ja aus g plus b -, schreiben wir also (g + b)2 ist gleich, und jetzt c2. Als nächstes können wir hier die erste Binomische Formel anwenden und somit die Klammern auflösen. Wir erhalten g2 + 2*g*b + b2 = c2.
Wenn wir diesen Term jetzt grafisch interpretieren wollen, können wir dieses (g + b)2 hier als Fläche einzeichnen, und wir erkennen: g2 ist hier, 2*g*b, einmal, zweimal und das plus b2, das ist dieses. Und der Satz des Pythagoras gilt immer noch: h2 plus dieses große Quadrat ist c2. Und jetzt machen wir folgendes: Wir sehen ja hier h2 + g2, und wenn wir uns jetzt dieses kleine rechtwinklige Dreieck anschauen, das ja die Seiten h und g hat, sehen wir, dass hier h2 und g2 das a2 ergeben.
Das heißt, wir dürfen h2 + g2 ersetzen mit a2. Jetzt haben wir also a2, dann noch 2*g*b, das sind die beiden Flächen plus b2 ist gleich c2. Und jetzt, erinnern wir uns, beim Kosinussatz wollten wir a, b und c haben und einen Winkel, das heißt: Für diesen Teil der Gleichung müssen wir g ersetzen. Und wenn wir uns hier g anschauen, dann sehen wir, dass g die Ankathete ist von welchem Winkel? Richtig: γ. Wir haben ja hier ein stumpfwinkliges Dreieck, der stumpfe Winkel ist γ, und wenn wir den Kosinus von γ bilden, müssen wir, weil er über 90 Grad ist, auf der linken Seite schauen. Ankathete ist die Seite g, und Hypotenuse ist Seite a. Stellen wir das separat hier auf:
cos(γ) = Ankathete durch Hypotenuse. Ankathete für γ ist die Seite g, und die Hypotenuse, das ist die Seite a. Wenn wir jetzt also g haben wollen, müssen wir nichts weiter tun als a mit Kosinus γ multiplizieren. Und jetzt haben wir also die Möglichkeit, das g hier oben zu ersetzen mit cos(γ)*a. Doch hier müssen wir auf eine Sache achten, denn der Wert aus cos(γ) wird negativ sein, da der Winkel γ über 90 Grad groß ist!
Schauen wir nochmal: Kosinuswerte von 0 bis 90 Grad sind positiv bis 0 bei 90 Grad, und jetzt über 90 Grad wird er negativ. Das heißt, wenn wir den Kosinus von diesem stumpfen Winkel bilden, wird der Kosinuswert -0,656 bei 131 Grad sein. Also alle Kosinuswerte zwischen 90 und 180 Grad sind negativ! Unser Kosinus γ ist also ein negativer Wert, multiplizieren wir diesen negativen Wert mit der Seite a, erhalten wir also für die Strecke g einen negativen Wert.
Beispielsweise sei γ 131 Grad und unsere Seite a 4 Zentimeter. Rechnen wir jetzt cos(131°), erhalten wir rund -0,656. Und multiplizieren wir diesen Wert mit 4, erhalten wir -2,624 und so weiter. Also rund -2,6 Zentimeter für Seite g. Wie wir jedoch wissen, darf eine Strecke nicht negativ sein, sondern sie muss positiv sein. Das heißt, wir müssen g positiv machen. Würden wir g negativ lassen, hätten wir hier auch eine in Anführungszeichen „negative Fläche“, die es natürlich nicht geben kann. Das heißt, dieses g hier in unserer Flächenformel wird durch die Kosinus-Berechnung negativ, und wie können wir es an dieser Stelle positiv machen? Ganz einfach, wir machen aus diesem plus ein minus. Dadurch wird der negative Wert für g hier wieder positiv. Und unsere Fläche ist immer noch plus 2*g*b. Aber aufpassen: Hier darf natürlich jetzt nicht g stehen, hier muss natürlich jetzt unser Kosinus γ mal a eingetragen werden. Das heißt: Hier oben ist die Flächenformel a2 + 2*g*b + b2 = c2, das was wir über die Flächen ermittelt hatten. Und jetzt ersetzen wir das g mit cos(γ) * a, das gibt uns Strecke g jedoch negativ, und diesen negativen Wert wandeln wir wieder in einen positiven Wert durch dieses minus, so dass wir nachher wieder unsere Fläche 2*g*b positiv erhalten, also dieses g*b und dieses g*b. Und, wie Ihr seht, das ist unser Kosinussatz. Wenn wir das b2 noch nach vorne ziehen und cos(γ) hier nach hinten, sehen wir:
c2 ergibt sich aus a2 + b2 – 2*a*b*cos(γ).
Diesen Zusammenhang könnt Ihr Euch vom Kosinussatz ausgehend auch noch mal veranschaulichen. Schreiben wir unsere Formel noch mal dahin und drehen wir a und b nochmal um, dann sehen wir also a mal cos(γ), a mal cos(γ) ist ja die Seite g, und der Wert für g wird, weil cos(γ) einen negativen Wert zwischen 0 und -1 gibt, negativ sein! Also g wird auf jeden Fall negativ sein, hier mit einem minus angedeutet. Und dann könnt Ihr Euch denken, dass dieses minus und dieses minus – minus mal minus – wiederum plus ergeben. Und schon sehen wir wieder, unsere Flächen a2, das b2 und das 2*b*g, also dieses und dieses, müssen zusammen das große c2 ergeben.
Das war also der Kosinussatz, den wir Euch mit Hilfe der Flächen verdeutlicht haben. Und merkt Euch bitte auch: Selbst wenn wir ihn hier an einem stumpfwinkligen Dreieck gezeigt haben, er gilt auch für spitzwinklige Dreiecke, so wie wir es im vorigen Teil gesehen hatten. Also der Kosinussatz ist auf alle Dreiecke anwendbar!
Abschließend noch ein kleiner Zusatz: Ihr werdet feststellen, wenn Ihr den Kosinussatz nehmt und γ 90 Grad werden lasst, also unser Dreieck hier ein rechtwinkliges Dreieck wird, dass hier folgendes passiert: γ ist also jetzt 90 Grad, und wir wissen, Kosinus von 90 Grad, schauen wir nochmal in unserem Programm, Kosinus, der Wert hier unten, die rote Linie, gehen wir auf 90 Grad, wird Kosinus 0. Das heißt: Kosinus von 90 Grad ist 0, damit wird dieses 2*a*b mal 0 ebenfalls zu 0, wir können es also hier wegnehmen, und auch die -0 jetzt, und es bleibt übrig:
c2 = a2 + b2
Und richtig, das kennt Ihr, das ist unser Satz des Pythagoras. Mit anderen Worten: Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes bei einem Winkel von 90 Grad.
Im nächsten und letzten Video wenden wir nun endlich den Kosinussatz an, um Dreiecke zu berechnen. Außerdem lernen wir, wie wir aus drei Dreieckseiten mit Hilfe des Kosinussatzes die Winkel im Dreieck bestimmen können. Und abschließend fassen wir nochmal alles zusammen.
Also: Auf geht’s in die letzte Runde!


Video Teil 5: Kosinussatz zur Winkelbestimmung + Zusammenfassung


Als nächstes benutzen wir den Kosinussatz, um Dreiecksaufgaben zu lösen. Man gibt uns eine Aufgabe, bei der gegeben sind Seite a, Seite b und γ; wir sollen die Seite c ermitteln. Dann schauen wir als erstes, ob wir den Kosinussatz anwenden können. Wir haben Seite a, Seite b und den Winkel γ. Und der Winkel γ befindet sich hier, also ist eingeschlossen von unseren gegebenen Seiten. Und bei zwei Seiten und einem eingeschlossenen Winkel dürfen wir den Kosinussatz anwenden. Und da wir ja die dritte Seite suchen, die Seite c, stellen wir den Kosinussatz für c2 auf:
c2 = a2 + b2 – 2*a*b*cos(γ)
Jetzt können wir ganz bequem unsere Werte einsetzen für a, b und γ: a ist also 35 Zentimeter, b ist 15,2 Zentimeter, nehmen wir das hier auf die nächste Zeile, und unser γ ist 36 Grad. Jetzt gilt es, das in den Taschenrechner einzugeben: 35 ins Quadrat sind 1225; 15,2 ins Quadrat sind 231,04; 2 mal 35 sind 70; 70 mal 15,2 sind1064 und cos(36°), nehmen wir den Taschenrechner, cos(36) ist 0,809 und so weiter, mal 1064, und das Minus nicht vergessen, ist gleich -860. Jetzt noch die beiden Werte hinzuaddiert, machen wir das schnell, plus 231,04 und plus die 1225; wir erhalten rund 595,25 Quadratzentimeter. Natürlich wollen wir nicht die Fläche, sondern die Seite c haben, das heißt, wir ziehen hieraus noch die Wurzel. Wurzel aus 595,25 ist gleich 24,4 Zentimeter gerundet – unsere Lösung für Seite c.
Nehmen wir noch unser Programm auf www.echteinfach.tv, um diesen Wert zu prüfen. Geben wir die gegebenen Werte ein: a ist 35 Zentimeter, Seite b ist 15,2 Zentimeter, und unser Winkel γ ist 36 Grad. Und wir sehen, Seite c ist 24,4 Zentimeter lang. Und wir sehen außerdem, dass wir hier α und β berechnet bekommen. Wie machen wir das für unsere Aufgabe? Wir haben also Seite c mit 24,4 Zentimeter ermittelt, und jetzt können wir nicht sofort den Winkelsummensatz anwenden, um α und β mittels γ auszurechnen; wir müssen α und β anders ausrechnen. Und hierzu wollen wir den Kosinussatz benutzen. Denn jetzt haben wir ja drei Dreiecksseiten gegeben. Stellen wir den Kosinussatz für a2 auf, denn da ist α enthalten. Das heißt, a, b und c sind uns jetzt gegeben, und wir wollen den Winkel α ermitteln. Wir stellen also so um, dass cos(α) alleine steht. Dazu subtrahieren wir b2 und c2 als erstes hier rüber, dann haben wir noch -2*b*c*cos(α) hier rechts zu stehen, und jetzt dividieren wir den Teil -2*b*c hier rüber. Dann erhalten wir also für cos(α) diesen Term, drehen wir beide Seiten noch um, und wenn wir den Arcuskosinus ziehen, erhalten wir α.
Wenden wir also diese Gleichung für unsere Aufgabe an. Setzen wir also die Werte für a, b und c in unsere Gleichung hier ein. Und als nächstes geben wir das in den Taschenrechner ein. Also 352 – 15,22 – 24,42 ist gleich: Wir erhalten für den Zähler 398,6. Und jetzt noch den Nenner separat berechnen: -2*15,2*24,4. Wir erhalten -741,76. Als nächstes dividieren wir beide Werte. Also 398,6 dividiert durch 741,76 - und das Minus davor nicht vergessen - ist gleich -0,5373 und so weiter. Und um aus diesem Wert jetzt den Winkel zu erhalten, ziehen wir der Arcuskosinus. Wir drücken als die SHIFT-Taste, dann Kosinus, damit haben wir den cos-1, also den Arcuskosinus von unserem Wert ist gleich rund 123 Grad. Und wie Ihr seht, da wir hier beim Kosinus einen negativen Wert haben, muss der sich ergebende Winkel zwischen 90 und 180 Grad groß sein. Wäre der Kosinuswert positiv, wäre der Winkel beim Dreieck zwischen 0 und 90 Grad groß. Das heißt, die Zuordnung der Kosinuswerte und der Winkel zwischen 0 und 180 Grad ist eindeutig.
Gut, und jetzt gilt es noch β zu ermitteln, und β könnten wir jetzt über den Kosinussatz für b2 ermitteln und dann umstellen nach cos(β), aber wir machen es uns einfach: Wir nehmen einfach den Innenwinkel-Summensatz und wissen, wenn wir von 180 Grad α abziehen und dann noch γ abziehen, dann erhalten wir β. α sind 123 Grad, γ 36 Grad, das heißt, für β ergibt sich 21 Grad.
Und schon haben wir alle drei Seiten und alle drei Winkel des allgemeinen Dreiecks berechnet!
Werfen wir noch einen Blick auf das Programm, mit dem wir schon unser Dreieck berechnet hatten, und wir sehen: β ist 21 Grad und α 123 Grad, so wie wir es soeben ermittelt hatten.
Jetzt seid Ihr also in der Lage, jedes allgemeine Dreieck mit dem Kosinussatz zu berechnen, aber auch mit dem Sinussatz. Und wie gesagt: Benutzt die Programme, um Eure Ergebnisse zu prüfen auf Richtigkeit.
Gut, fassen wir also als nächstes unser Wissen zusammen. Betrachten wir uns nochmal die wesentlichen Inhalte unser Lektion:
Wenn wir ein allgemeines Dreieck haben, kann es spitzwinklig sein, und wir haben gesehen, wenn wir hier die Höhe eintragen, erhalten wir zwei rechtwinklige Dreiecke, bei denen wir den Sinus und Kosinus anwenden können.
Dann hatten wir gesagt: Entsteht ein stumpfwinkliges Dreieck, ist die Höhe des Dreiecks außen zu zeichnen; und damit haben wir hier dieses Referenz-Dreieck und können immer noch Sinus- und Kosinuswerte zuordnen.
Dann hatten wir uns auf Winkel und ihre Sinus- und Kosinuswerte konzentriert, hatten also dieses rechtwinklige Dreieck untersucht, hatten gesagt, dass die Sinuswerte bei Winkeln von 0 bis 90 Grad positiv sind, und auch die Winkel von 90 bis 180 Grad positiv sind. Dabei hatten wir festgestellt, dass wir von einem Sinuswert ausgehend zwei Winkel ermitteln können. Der Arcussinus von 0,755 im Taschenrechner gibt uns hier 49 Grad, aber es kann auch 131 Grad sein. Und da hatten wir gesagt, wir können 180 Grad minus die 131 rechnen und kommen auf 49 Grad; beziehungsweise wir können 180 minus 49 rechnen und kommen auf 131 Grad. Und wie gesagt: Es ist nicht eindeutig, welcher Winkel zu diesem Wert 0,755 gehört.
Im Gegensatz hierzu haben wir den Kosinus, der für Winkel zwischen 0 und 90 Grad positiv ist, und dann, wenn wir nach links gehen, also über 90 Grad, negativ wird. Da ist die Zuordnung aller Winkel von 0 bis 180 Grad zu dem Kosinuswert eindeutig. Also wir können aus jedem Kosinuswert eindeutig den Winkel ermitteln im Gegensatz zum Sinus, der zweideutig sein kann. Und auch hier hatten wir festgestellt, dass es eine sogenannte „Identität“ gibt, also dass wir 180 Grad minus 156 rechnen können, um auf 24 zu kommen, oder 180 minus 24 und wir kommen auf 156. Dabei mussten wir bei den Kosinuswerten darauf achten, dass sie dann ihr Vorzeichen wechseln.

Dann hatten wir uns den Sinussatz angeguckt:
a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)
Bei diesem Sinussatz brauchten wir immer drei Werte, um die anderen Seiten berechnen zu können. Also zum Beispiel Seite a, Winkel α und dann Seite b. Und wir errechnen β mit 25 Grad.

Beim Kosinussatz brauchen wir ebenfalls drei Werte, zum Beispiel Seite a, Seite b und den Winkel γ und wir erhalten hier Seite c.
Lasst uns hier nochmal schauen, in welchem Fall wir welchen Satz anwenden müssen.

Fall Nr. 1: Man gibt uns Seite a, Seite b und den Winkel β. Da können wir jetzt über den Sinussatz a/sin(α) = b/sin(β) α berechnen, anschließend über den Winkelsummensatz γ, denn alle drei müssen ja 180 Grad groß sein, und dann über den Sinussatz zum Beispiel b/sin(β) = c/sin(γ) die Seite c. Wir merken uns also: Sobald wir zwei Seiten gegeben haben und einen Winkel, der der Seite gegenüber liegt, also b hat dann β gegenüber, können wir die anderen drei Elemente berechnen. Also haben wir c, b und β, können wir γ berechnen. Haben wir a, c und γ, können wir α berechnen.

Fall Nr. 2: Man gibt uns zwei Winkel, α und β, und die Seite, die dem Winkel gegenüber liegt, in dem Fall b. Dann können wir ebenfalls mit dem Sinussatz die Seite a bestimmen, denn b/sin(β) ist ja a/sin(α), und sobald wir a haben, können wir γ und Seite c bestimmen. Also für Fall 2 merken wir uns: Haben wir zwei Winkel gegeben und eine entsprechende Seite dazu, wenden wir den Sinussatz an.

Für den Fall 3 haben wir Seite a und b und den Winkel γ gegeben. Dann wissen wir, a und b schließen den Winkel γ ein, und wir können den Kosinussatz anwenden, um Seite c zu bestimmen. Und der Kosinussatz, hier steht er mit a, b und γ. Und dann, sobald wir c haben, können wir entweder über den Sinussatz β und α ermitteln, oder auch über den Kosinussatz die Winkel β und α bestimmen. Dazu mussten wir den Kosinussatz für a2 aufstellen und diese Gleichung nach cos(α) umstellen. Dann konnten wir den Arcuskosinus ziehen aus diesem Wert und erhalten α. Und wenn wir dann α haben, können wir zum Beispiel über den Winkelsummensatz β ermitteln. Wir merken uns also für Fall Nr. 3: Haben wir zwei Seiten gegeben und den eingeschlossenen Winkel, also a, b schließt γ ein oder b, c schließt α ein oder a und c schließen β ein. Also in diesen Fällen benutzen wir den Kosinussatz.

{Fall Nr. 4}
Und den Kosinussatz können wir ebenfalls benutzen, wenn uns alle drei Seiten gegeben sind und kein einziger Winkel, denn dann können wir mit Hilfe des Kosinussatzes jeden Winkel ermitteln. Und zwar, indem wir den Kosinussatz für die entsprechende Seite so umstellen, dass der Winkel nachher mit dem Arcuskosinus berechnet werden kann. Das ist die Formel also, um α heraus zu bekommen, das ist die Formel aus dem Kosinussatz für b2, um β heraus zu bekommen, und das ist der Kosinussatz für c2, den wir benutzen können, um das γ zu ermitteln.

Und Fall Nr. 5: Falls uns alle drei Winkel gegeben sind und keine der drei Seiten, ist die Sache nicht konkret bestimmbar. Wir benötigen mindestens die Angabe einer Seite, um die anderen beiden Seiten bestimmen zu können. Merkt Euch bitte: Um ein allgemeines Dreieck zu berechnen, benötigen wir stets drei Angaben.

In der nächsten Lektion werden wir sehen, dass es neben Sinus und Kosinus auch noch den sogenannten „Tangens“ gibt. Mit dessen Hilfe ist es uns ebenfalls möglich, Dreiecke zu berechnen. Gehen wir also über zum Tangens.


Tags: Trigonometrie, Sinus und Kosinus, Allgemeines Dreieck, Sinussatz und Kosinussatz, Dreiecksberechnung
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